Question

【題目】已知函數(shù),

(1)若兩函數(shù)圖象有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(2)若, ,求實(shí)數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（1）由兩函數(shù)圖象有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)可等價(jià)于方程在有兩個(gè)不同的解，即方程在有兩個(gè)不同的解，設(shè)，求導(dǎo)的函數(shù)的單調(diào)性，從而求出的最大值，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）由在上恒成立，等價(jià)于對(duì)恒成立，設(shè),則只需,對(duì)求導(dǎo)分析其單調(diào)性，從而可得，即可得到實(shí)數(shù)的最大值.

試題解析：(1)解:函數(shù)與的圖象有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)等價(jià)于方程在有兩個(gè)不同的解,即方程在有兩個(gè)不同的解.

設(shè),則函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

由，令，有.

列表如下：

	+	0	-
	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)

∴函數(shù)有極大值

∵時(shí)， ； ，

∴

(注:或①當(dāng)時(shí),至多有一個(gè)公共點(diǎn)；②當(dāng)時(shí),因?yàn)?/span>時(shí), , 至多有一個(gè)公共點(diǎn)；③當(dāng)時(shí),因?yàn)?/span>, ,所以上有一個(gè)零點(diǎn),又,而,所以在上存在一個(gè)零點(diǎn),即時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn))

(2)由題對(duì)恒成立,即對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，

設(shè),則只需,由,

又∵

∴在為增函數(shù)

∴

又∵

∴存在使，即，則

又∵時(shí)， , 為減函數(shù), 時(shí), , 為增函數(shù)

∴

∴在為增函數(shù)

∴

∴ ,故實(shí)數(shù)的最大值為.