Question

點(diǎn)P在橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為兩個(gè)焦點(diǎn)，若△F₁PF₂為直角三角形，這樣的點(diǎn)P共有（　�。�

A．4個(gè)

B．5個(gè)

C．6個(gè)

D．8個(gè)

Answer 1

分析：根據(jù)以焦距F₁F₂為直徑的圓和橢圓有4個(gè)交點(diǎn)，可得存在4個(gè)以P為直角頂點(diǎn)的直角△F₁PF₂，再由橢圓的對稱性可得以F₁F₂為一條直角邊的直角△F₁PF₂也有4個(gè)，由此可得滿足條件的點(diǎn)P共有8個(gè)．

解答：解：∵橢圓方程是

x2

25

+

y2

9

=1，
∴a=5，b=3，可得c=

25-9

=4
因此橢圓的焦點(diǎn)F₁（-4，0）和F₂（4，0），
由c＞b可得以F₁F₂為直徑的圓和橢圓

x2

25

+

y2

9

=1有4個(gè)交點(diǎn)，
由直徑所對的圓周角為直角，可得當(dāng)P與這些交點(diǎn)重合時(shí)，
△F₁PF₂為直角三角形；
當(dāng)直角△F₁PF₂以F₁F₂為一條直角邊時(shí)，
根據(jù)橢圓的對稱性，可得存在四個(gè)滿足條件的直角△F₁PF₂
綜上所述，能使△F₁PF₂為直角三角形的點(diǎn)P共有8個(gè)
故選：D

點(diǎn)評：本題給出橢圓方程，求橢圓上能與焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，著重考查了橢圓的定義與簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．