Question

2．已知函數(shù)f（x）=|2x-a|+a．
（1）若不等式f（x）≤6的解集為{x|-2≤x≤3}，求實數(shù)a的值．
（2）在（1）的條件下，若存在實數(shù)n使f（$\frac{1}{2}$n）≤m-f（-n）成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）原不等式可化為|2x-a|≤6-a，解得a-3≤x≤3．再根據(jù)不等式f（x）≤6的解集為[-2，3]，可得a-3=-2，從而求得a的值．
（2）由題意可得|n-1|+|2n-1|+2≤m，構(gòu)造函數(shù)y=|n-1|+|2n-1|+2，求得y的最小值，從而求得m的范圍．

解答 解：（1）原不等式可化為|2x-a|≤6-a，
∴$\left\{\begin{array}{l}6-a≥0\\ a-6≤2x-a≤6-a\end{array}\right.$，
解得a-3≤x≤3．
再根據(jù)不等式f（x）≤6的解集為[-2，3]，可得a-3=-2，
∴a=1．
（2）∵f（x）=|2x-1|+1，f（$\frac{1}{2}$n）≤m-f（-n），
∴|n-1|+1≤m-（|-2n-1|+1），
∴|n-1|+|2n+1|+2≤m，
∵y=|n-1|+|2n+1|+2，
當(dāng)n≤-$\frac{1}{2}$時，y=-3n+2≥$\frac{7}{2}$，
當(dāng)-$\frac{1}{2}$≤n≤1時，y=n+2≥$\frac{5}{2}$，
當(dāng)n≥1時，y=3n≥3，
故函數(shù)y=|n-1|+|2n-1|+2的最小值為$\frac{5}{2}$，
∴m≥$\frac{5}{2}$，
即m的范圍是[$\frac{5}{2}$，+∞）．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，帶有絕對值的函數(shù)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．