已知函數(shù)f（x）=
x
4
+
a
x
-lnx-
3
2
，其中a∈R，且曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于直線y=
1
2
x．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．
考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（Ⅰ）由曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于直線y=
1
2
x可得f′（1）=-2，可求出a的值；
（Ⅱ）根據(jù)（I）可得函數(shù)的解析式和導(dǎo)函數(shù)的解析式，分析導(dǎo)函數(shù)的符號，進(jìn)而可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．
解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=
x
4
+
a
x
-lnx-
3
2
，
∴f′（x）=
1
4
-
a
x2
-
1
x
，
∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于直線y=
1
2
x．
∴f′（1）=
1
4
-a-1=-2，
解得：a=
5
4
．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=
x
4
+
5
4x
-lnx-
3
2
，
f′（x）=
1
4
-
5
4x2
-
1
x
=
x2-4x-5
4x2
（x＞0），
令f′（x）=0，
解得x=5，或x=-1（舍），
∵當(dāng)x∈（0，5）時，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（5，+∞）時，f′（x）＞0，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（5，+∞）；
單調(diào)遞減區(qū)間為（0，5）；
當(dāng)x=5時，函數(shù)取極小值-ln5．
點評：本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，是導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C滿足sin2A+sin（A-B+C）=sin（C-A-B）+
1
2
，面積S滿足1≤S≤2，記a，b，c分別為A，B，C所對的邊，在下列不等式一定成立的是（　�。�
A、bc（b+c）＞8
B、ab（a+b）＞16
2
C、6≤abc≤12
D、12≤abc≤24

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}中，an+1=
an2
2an-5
，已知該數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則該數(shù)列的前20項的和等于（　�。�
A、100
B、0或100
C、100或-100
D、0或-100

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=alnx+
1
2
bx2-（b+a）x．
（Ⅰ）當(dāng)a=1，b=0時，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）當(dāng)b=1時，設(shè)α，β是f（x）兩個極值點，且α＜β，β∈（1，e]（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．求證：對任意的x1，x2∈[α，β]，|f（x1）-f（x2）|＜1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
3
x3+
1-a
2
x2-ax-a，x∈R，其中a＞0．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-3，0）內(nèi)恰有兩個零點，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=1時，設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+3]上的最大值為M（t），最小值為m（t），記g（t）=M（t）-m（t），求函數(shù)g（t）在區(qū)間[-4，-1]上的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（2sinx，sinx-cosx），
b
=（cosx，
3
（cosx+sinx）），函數(shù)f（x）=
a
•
b
+1
（1）當(dāng)x∈（
π
4
，
π
2
）時，求f（x）的值域；并求其對稱中心．
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若將f（x）向左平移
π
4
個單位，且b=5，f（
B
2
）=3，求△ABC面積最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}，a1=1，an+1=
an
3
+
1
3n
．?dāng)?shù)列{bn}，bn=3n-1an．正數(shù)數(shù)列{dn}，dn2=1+
1
bn2
+
1
bn+12
．
（1）求證：數(shù)列{bn}為等差數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{bn}，{dn}的前n項和分別為Bn，Dn，求數(shù)列{bnDn+dnBn-bndn}的前n項和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某小區(qū)想利用一矩形空地ABCD建市民健身廣場，設(shè)計時決定保留空地邊上的一水塘（如圖中陰影部分），水塘可近似看作一個等腰直角三角形，其中AD=60m，AB=40m，且△EFG中，∠EGF=90°，經(jīng)測量得到AE=10m，EF=20m．為保證安全同時考慮美觀，健身廣場周圍準(zhǔn)備加設(shè)一個保護(hù)欄．設(shè)計時經(jīng)過點G作一直線交AB，DF于M，N，從而得到五邊形MBCDN的市民健身廣場，設(shè)DN=x（m）
（1）將五邊形MBCDN的面積y表示為x的函數(shù)；
（2）當(dāng)x為何值時，市民健身廣場的面積最大？并求出最大面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點A（0，-2），橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為
2
3
3
，O為坐標(biāo)原點．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點，當(dāng)△OPQ的面積最大時，求l的方程．

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