Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+

1

2

bx²-（b+a）x．
（Ⅰ）當(dāng)a=1，b=0時(shí)，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）當(dāng)b=1時(shí)，設(shè)α，β是f（x）兩個(gè)極值點(diǎn)，且α＜β，β∈（1，e]（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．求證：對(duì)任意的x₁，x₂∈[α，β]，|f（x₁）-f（x₂）|＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義,函數(shù)恒成立問題

專題：證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出當(dāng)a=1，b=0時(shí)的函數(shù)f（x）的表達(dá)式，求出導(dǎo)數(shù)，以及單調(diào)區(qū)間，從而判斷極值，注意這里也是最值；
（Ⅱ）寫出b=1時(shí)的函數(shù)f（x）的表達(dá)式，并求出導(dǎo)數(shù)，由條件得到α=1，β=a，說明x₁，x₂∈[α，β]是減區(qū)間，從而|f（x₁）-f（x₂）|≤f（1）-f（a），化簡(jiǎn)并令g（x）=

1

2

（x²-1）-xlnx（1＜x≤e），通過求導(dǎo)，判斷g（x）在（1，e]內(nèi)是增，從而g（x）≤

1

2

（e²-1）-elne即

1

2

（a²-1）-alna≤

e2-1-2e

2

，而

e2-1-2e

2

＜1，故結(jié)論成立．

解答： （Ⅰ）解：當(dāng)a=1，b=0時(shí)，f（x）=lnx-x（x＞0），
導(dǎo)數(shù)f′（x）=

1

x

-1，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，
∴x=1時(shí)，函數(shù)取極大值，也為最大值，且為-1；
（Ⅱ）證明：當(dāng)b=1時(shí)，f（x）=alnx+

1

2

x²-（1+a）x，
導(dǎo)數(shù)f′（x）=

a

x

+x-（1+a）=

(x-1)(x-a)

x

（x＞0），
∵α，β是f（x）兩個(gè)極值點(diǎn)，且α＜β，β∈（1，e]，
∴α=1，β=a，（1＜a≤e），
∴當(dāng)1＜x＜a時(shí)，f′（x）＜0，即函數(shù)f（x）遞減，
當(dāng)x＞a或0＜x＜1，f′（x）＞0，即函數(shù)f（x）遞增，
∵任意的x₁，x₂∈[α，β]，則函數(shù)f（x）在該區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，
∴f（1）最大且為

1

2

-（1+a），f（a）最小且為alna+

1

2

a²-（1+a）a，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤f（1）-f（a）=

1

2

-（1+a）-alna-

1

2

a²+（1+a）a
=

1

2

（a²-1）-alna，
令g（x）=

1

2

（x²-1）-xlnx（1＜x≤e）
則g′（x）=x-1-lnx，g′（1）=0，g′（e）=e-1-1＞0，
∴g（x）在（1，e]上遞增，
故g（x）≤

1

2

（e²-1）-elne=

e2-1-2e

2

，即

1

2

（a²-1）-alna≤

e2-1-2e

2

，
而

e2-1-2e

2

＜1，
∴|f（x₁）-f（x₂）|＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和求極值、最值，同時(shí)考查函數(shù)在一區(qū)間內(nèi)的任兩個(gè)函數(shù)值的差的絕對(duì)值不大于最大值與最小值的差，考查運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是一道綜合題．