Question

【題目】已知函數(shù)．

(I)若，判斷上的單調(diào)性；

(Ⅱ)求函數(shù)上的最小值；

(III)當(dāng)時(shí)，是否存在正整數(shù)n，使恒成立？若存在，求出n的最大值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(I)見解析；(Ⅱ)見解析； (III)見解析

【解析】

（I）根據(jù)f′（x）的符號(hào)得出結(jié)論；

（II）討論a的范圍，得出f（x）在[1，e]上單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性得出最小值；

（III）化簡不等式可得n+xlnx，根據(jù)兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性得出兩函數(shù)在極值點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，從而得出n的范圍．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，

由于，故，

在單調(diào)遞增.

(Ⅱ)

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，

，

當(dāng)時(shí)，由解得（負(fù)值舍去）

設(shè)

若，即，也就是時(shí)，單調(diào)遞增，

，

若，即時(shí)

單調(diào)遞減，

單調(diào)遞增.

故

若即時(shí)單調(diào)遞減

，

綜上所述：當(dāng)時(shí)，的最小值為1；

當(dāng)時(shí)，的最小值為

當(dāng)時(shí)，的最小值為.

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，不等式為

恒成立

由于，故成立，，又

所以n只可能為1或2.

下證時(shí)不等式恒成立

事實(shí)上，設(shè)

，

又設(shè)在單調(diào)遞增

故

即

所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

時(shí)，單調(diào)遞增，

故

即時(shí)，，對(duì)恒成立，

所以存在正整數(shù)n，且n的最大值為2，滿足題意.