Question

【題目】已知冪函數(shù)在上是增函數(shù)，且在定義域上是偶函數(shù).

（1）求p的值，并寫(xiě)出相應(yīng)的函數(shù)的解析式.

（2）對(duì)于（1）中求得的函數(shù)，設(shè)函數(shù)，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間上是減函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)？若存在，請(qǐng)求出q；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（2）存在，.

【解析】

（1）由冪函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)的可能取值，再由偶函數(shù)的性質(zhì)確定的值．

（2）把作為一個(gè)整體，時(shí)，，時(shí)，.結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性可得值．

（1）由于已知在上是增函數(shù)，因而，解得.

又，因而或1或2.

當(dāng)或時(shí)，，不是偶函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，符合題意.

（2）存在.理由如下：

由（1）知.

由于，因而當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，

則外層函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，

則外層函數(shù)在上單調(diào)遞減.

所以，即.

所以存在滿(mǎn)足題設(shè)條件.