Question

【題目】如圖，公園里有一湖泊，其邊界由兩條線段和以為直徑的半圓弧組成，其中為2百米，為．若在半圓弧，線段，線段上各建一個觀賞亭，再修兩條棧道，使. 記．

（1）試用表示的長；

（2）試確定點的位置，使兩條棧道長度之和最大.

Answer 1

【答案】（1）；（2）與重合.

【解析】分析：（1）解直角三角形BDC用表示的長.(2)先利用正弦定理求出DF＝4cosθsin(＋θ)， 再求出DE＝AF=4－4，再利用三角函數求DE＋DF的最大值.

詳解：（1）連結DC．

在△ABC中，AC為2百米，AC⊥BC，∠A為，

所以∠CBA＝，AB＝4，BC＝．

因為BC為直徑，所以∠BDC＝，

所以BD＝BC cosθ＝cosθ．

（2）在△BDF中，∠DBF＝θ＋，∠BFD＝，BD＝cosθ，

所以，

所以DF＝4cosθsin(＋θ)，

且BF＝4，所以DE＝AF=4－4，

所以DE＋DF＝4－4＋4 sin(＋θ)= sin2θ－cos2θ＋3

＝2 sin(2θ－)＋3．

因為≤θ＜，所以≤2θ－＜，

所以當2θ－＝，即θ＝時，DE＋DF有最大值5，此時E與C重合．

答：當E與C重合時，兩條棧道長度之和最大．