Question

多面體ABCDE中，△ABC為正三角形，ACED為梯形，AD∥CE，AD⊥AC，AD=AC=2CE=2，BD=2．
（1）判斷直線BD與AE是否垂直，說明理由．
（2）求E點(diǎn)到平面ABD的距離．
（3）求平面ABC與平面BDE所成銳角二面角的大小．

Answer 1

解（1）AB=AD=2，BD=2，
AB²+AD²=BD²，AD⊥AB．
AD⊥AC，得AD⊥面ABC．
取AC中點(diǎn)F，連接BF，則BF⊥AC，
AD⊥BF，得BF⊥面ACE．
在RT△ACE 中，∠CAE+∠AEC=90°，
又△DAF≌△ACE，∠AFD=∠AEC，∴∠CAE+∠AFD=90°
得AE⊥FD，又FD是BD在面ACEF上的射影，
∴BD⊥AE．
（2）V_E-ABD=V_B-ADE，•h•S_△ABD=•BE•S_△ADE
即•h••2•2=••2
h=，求E點(diǎn)到平面ABD的距離為．
（3）延長AC交DE延長線于G，連接BG．


在△ABG中，BC=AC=CG，∴∠ABG=90°，即 AB⊥BG，
在△DBG中，DB=，ED=，BG²=BF²+FG²=3+9=12，DB²+BG²=DG²，∴∠DBG=90°，即DB⊥BG，
∴∠DBA即為平面ABC與平面BDE所成銳角二面角的平面角，∠DBA=45°．
平面ABC與平面BDE所成銳角二面角的大小為45°．
分析：（1）取AC中點(diǎn)F，連接BF，在先證得AD⊥面ABC的基礎(chǔ)上，得出BF⊥面ACE，F(xiàn)D是BD在面ACEF上的射影，在證出AE⊥FD后，由三垂線定理，得出BD⊥AE．
（2）利用等體積法，V_E-ABD=V_B-ADE，•h•S_△ABD=•BE•S_△ADE計算
（3）延長AC交DE延長線于G，連接BG．可以證明∠DBA即為平面ABC與平面BDE所成銳角二面角的平面角，在△BAD中求解即可．
點(diǎn)評：本題考查空間直線位置關(guān)系的判斷，點(diǎn)面距、二面角的大小計算．等體積法求點(diǎn)面距的好處在于不用作出點(diǎn)到面的垂線段．對于無棱二面角求解，可適當(dāng)延展平面，使兩半平面交線出現(xiàn)，增加直觀性，便于計算． 考查空間形象能力、計算、轉(zhuǎn)化能力．空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題是解決空間幾何體最核心的思想方法．