Question

已知首項(xiàng)為

3

2

的等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n（n∈N^*），且-2S₂，S₃，4S₄成等差數(shù)列，則Sn+

1

Sn

的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題意得2S₃=-2S₂+4S₄，變形為S₄-S₃=S₂-S₄，進(jìn)而求出公比q的值，代入求出，Sn+

1

Sn

=1-(-

1

2

)n+

1

1-(- 1 2 )n

，再對(duì)n分類(lèi)進(jìn)行化簡(jiǎn)，判斷出S_n隨n的變化情況，再分別求出最大值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵-2S₂，S₃，4S₄等差數(shù)列，
∴2S₃=-2S₂+4S₄，即S₄-S₃=S₂-S₄，
得2a₄=-a₃，∴q=-

1

2

，
∵首項(xiàng)為

3

2

，
∴Sn+

1

Sn

=1-(-

1

2

)n+

1

1-(- 1 2 )n

，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn+

1

Sn

=2+

1

2n(2n+1)

，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn+

1

Sn

=2+

1

2n(2n-1)

，
∴Sn+

1

Sn

隨著n的增大而減小，
即Sn+

1

Sn

≤

13

6

，且Sn+

1

Sn

≤

25

12

，
綜上，有Sn+

1

Sn

的最大值為

13

6

．
故答案為：

13

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差（等比）數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，以及數(shù)列的基本性質(zhì)等，考查了分類(lèi)討論的思想、運(yùn)算能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．