Question

【題目】如圖，在三棱錐S﹣ABC中，∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，點A在SB和SC上的射影分別為E、D．

（1）求證：DE⊥SC；
（2）若SA=AB=BC=1，求直線AD與平面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵SA⊥平面ABC，BC平面ABC，

∴SA⊥BC，

∵∠ABC=90°，即AB⊥BC，AB∩SA=A，

∴BC⊥平面SAB．

∵AE平面SAB，∴BC⊥AE．

∵AE⊥SB，SB∩BC=B，∴AE⊥平面SBC，

∵SC平面SBC，∴AE⊥SC，

又∵AD⊥SC，AD∩AE=A，

∴SC⊥平面ADE，DE平面SBC，

∴DE⊥SC．

（2）解：以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，過B作AS的平行線為z軸，建立空間直角坐標系，

A（1，0，0），S（1，0，1），C（0，1，0），

設(shè)D（a，b，c）， ，則（a﹣1，b，c﹣1）=（﹣λ，λ，﹣λ），∴D（1﹣λ，λ，1﹣λ），

∴ =（﹣1，1，﹣1）， =（﹣λ，λ，1﹣λ），

∵點A在SC上的射影D，∴ =λ+λ﹣1+λ=0，解得 ，

∴D（ ， ， ）， =（﹣ ），

設(shè)直線AD與平面ABC所成角為θ，平面ABC的法向量 =（0，0，1），

則sinθ= = = ，

∴cosθ= = ．

∴直線AD與平面ABC所成角的余弦值為

【解析】（1）推導出SA⊥BC，AB⊥BC，從而BC⊥AE，再由AE⊥SC，能證明DE⊥SC．（2）以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，過B作AS的平行線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線AD與平面ABC所成角的余弦值．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識點，需要掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．