【題目】已知點(diǎn)在橢圓上,設(shè)分別為左頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)、下頂點(diǎn),且下頂點(diǎn)到直線的距離為.
(1)求橢圓的方程;
(2)如圖所示,過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于,交軸于點(diǎn),若為中點(diǎn),過(guò)作與直線垂直的直線,證明:對(duì)于任意的,直線恒過(guò)定點(diǎn),并求出此定點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】見(jiàn)解析
【解析】(1)由題意,得直線方程為,點(diǎn),……………1分
∴點(diǎn)到直線的距離,整理,得. ①……………3分
又點(diǎn)在橢圓上,所以. ②……………4分
聯(lián)立①②解得,所以橢圓的方程為.…………………5分
(2)因?yàn)?/span>,所以設(shè)直線的方程為.
由消元得,,化簡(jiǎn)得,,
解得,. …………………7分
顯然,則,
所以. …………………8分
因?yàn)?/span>點(diǎn)為的中點(diǎn),所以的坐標(biāo)為,則,
所以直線的斜率為,
又直線的方程為,…………………10分
所以令,得點(diǎn)坐標(biāo)為,
所以直線的方程為,即,…………………11分
所以直線恒過(guò)定點(diǎn).…………………12分
【命題意圖】本題主要考查橢圓方程與幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),意在考查邏輯思維
與推理論證能力、分析與解決問(wèn)題的能力、運(yùn)算求解能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】五邊形是由一個(gè)梯形與一個(gè)矩形組成的,如圖甲所示,B為AC的中點(diǎn), . 先沿著虛線將五邊形折成直二面角,如圖乙所示.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)求圖乙中的多面體的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某教師有相同的語(yǔ)文參考書3本,相同的數(shù)學(xué)參考書4本,從中取出4本贈(zèng)送給4位學(xué)生,每位學(xué)生1本,則不同的贈(zèng)送方法共有( )
A. 15種 B. 20種 C. 48種 D. 60種
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=log2 log2 ,x∈(2,8]的值域?yàn)椋?/span> )
A.[0,2]
B.[﹣ ,2]
C.(0,2]
D.(﹣ ,2]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某同學(xué)在研究函數(shù)f(x)= ﹣1(x∈R)時(shí),得出了下面4個(gè)結(jié)論:①等式f(﹣x)=f(x)在x∈R時(shí)恒成立;②函數(shù)f(x)在x∈R上的值域?yàn)椋ī?,1];③曲線y=f(x)與g(x)=2x﹣2僅有一個(gè)公共點(diǎn);④若f(x)= ﹣1在區(qū)間[a,b](a,b為整數(shù))上的值域是[0,1],則滿足條件的整數(shù)數(shù)對(duì)(a,b)共有5對(duì).其中正確結(jié)論的序號(hào)有(請(qǐng)將你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng),時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)對(duì)于任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知定圓,動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)且與圓相切,記圓心的軌跡為.
(I)求軌跡的方程;
(Ⅱ)若與軸不重合的直線過(guò)點(diǎn),且與軌跡交于兩點(diǎn),問(wèn):在軸上是否存在定點(diǎn),使得為定值?若存在,試求出點(diǎn)的坐標(biāo)和定值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,平面,底面是直角梯形,,,,是上的點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)若是的中點(diǎn),且二面角的余弦值為,求直線與平面所成角的正弦值.
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