Question

14．已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，都有f（x+$\frac{3}{2}$）f（x）=2014，且當x∈（0，$\frac{3}{2}$]時，f（x）=log₂（2x+1），則f（-2015）+f（2013）=log₂3．

Answer 1

分析 由已知f（x+$\frac{3}{2}$）f（x）=2014，求出函數(shù)f（x）的周期，利用已知函數(shù)的解析式求解函數(shù)值即可．

解答 解：由f（x）為奇函數(shù)可得f（-x）=-f（x），再由條件當x＞0時，都有f（　　）f（x）=2014，
可得f（x+$\frac{3}{2}$）=$\frac{2014}{f（x）}$，
所以，f（3+x）=$\frac{2014}{f（x+\frac{3}{2}）}$=$\frac{2014}{\frac{2014}{f（x）}}$=f（x）．函數(shù)的周期是3，
當x∈（0，$\frac{3}{2}$]時，f（x）=log₂（2x+1），
所以，f（-2015）+f（2013）
=-f（2015）+f（2013）
=-f（671×3）+f（671×3）
=-f（2）+f（0）
=-f（-1）
=f（1）
=log₂3．
故答案為：log₂3．

點評 本題主要考察函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)的周期，函數(shù)值的求法，屬于中檔題．