Question

4．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的圖象如圖
（1）求f（x）的解析式；
（2）求該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）將f（x）上的橫坐標縮短到原來的$\frac{1}{3}$，縱坐標不變，然后將所得到的函數(shù)圖象沿x軸向右平移$\frac{π}{3}$個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象
①試寫出y=g（x）的解析式；②試做出y=g（x）在x∈[0，2π]上的函數(shù)圖象．

Answer 1

分析 （1）由圖知A，T，從而可求得ω；又函數(shù)y=2sin（$\frac{1}{3}$x+φ）經(jīng)過（0，1），可求得φ，從而可得函數(shù)的表達式．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z解得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
（3）用五點法即可作函數(shù)在一個周期上的簡圖．

解答 解：（1）由圖知，A=2，$\frac{1}{2}$T=x₀+3π-x₀=3π，ω＞0，
∴T=$\frac{2π}{ω}$=6π，解得ω=$\frac{1}{3}$；
又函數(shù)y=2sin（$\frac{1}{3}$x+φ）經(jīng)過（0，1），
∴$\frac{1}{3}$×0+φ=$\frac{π}{6}$+2kπ，k∈Z．
∴φ=$\frac{π}{6}$．
∴y=2sin（$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{6}$）．
故f（x）的解析式為：y=2sin（$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{6}$）．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z解得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[6kπ-2π，6kπ+π]，k∈Z．
（3）①把y=2sin（$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{6}$）的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的$\frac{1}{3}$，可得y=2sin（x+$\frac{π}{6}$）的圖象；
再將圖象沿x軸向右平移$\frac{π}{3}$個單位，可得函數(shù)y=g（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{6}$）=2sin（x-$\frac{π}{6}$）的圖象，
②列表：

x	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{7π}{6}$	$\frac{5π}{3}$	$\frac{13π}{6}$
x-$\frac{π}{6}$	-$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
2sin（x-$\frac{π}{6}$）	-1	0	2	0	-2	0

描點得圖象y=g（x）在x∈[0，2π]上的函數(shù)圖象如下：

點評 本題考查五點法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，求得φ是關(guān)鍵，也是難點，考查識圖與運算能力，屬于中檔題．