【題目】從一張半徑為3的圓形鐵皮中裁剪出一塊扇形鐵皮(如圖1陰影部分),并卷成一個深度為米的圓錐筒(如圖2).若所裁剪的扇形鐵皮的圓心角為.
(1)求圓錐筒的容積;
(2)在(1)中的圓錐內(nèi)有一個底面圓半徑為的內(nèi)接圓柱(如圖3),求內(nèi)接圓柱側(cè)面積最大時的值.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)根據(jù)圓錐的結(jié)構(gòu)特征,扇形即為為圓錐的側(cè)面展開圖,求出圓錐的底面半徑和高,即可求出容積;
(2)根據(jù)圓柱內(nèi)接圓錐關(guān)系,求出圓柱的高與底面半徑的關(guān)系式,進(jìn)而求出圓柱側(cè)面積的目標(biāo)函數(shù),根據(jù)函數(shù)特征求其最值即可.
(1)設(shè)圓錐筒的半徑為,容積為,
∵所裁剪的扇形鐵皮的圓心角為,
∴,解得,
∴,
∴.
∴圓錐筒的容積為.
(2)設(shè)內(nèi)接圓柱高為則有,由圓錐內(nèi)接圓柱的軸截面圖,
得,
所以內(nèi)接圓柱側(cè)面積
,
所以當(dāng)時內(nèi)接圓柱側(cè)面積最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,動圓與圓外切,且圓與直線相切,記動圓圓心的軌跡為曲線.
(1)求曲線的軌跡方程;
(2)設(shè)過定點(diǎn)的動直線與曲線交于兩點(diǎn),試問:在曲線上是否存在點(diǎn)(與兩點(diǎn)相異),當(dāng)直線的斜率存在時,直線的斜率之和為定值?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求證:函數(shù)在上為增函數(shù);
(2)當(dāng)時,若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)設(shè),試討論函數(shù)的零點(diǎn)情況.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,AH是邊BC上的高,點(diǎn)G是△ABC的重心,若△ABC的面積為,AC=,tanC=2,則=_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,若存在常數(shù),使得對任意的成立,則稱函數(shù)是“類周期函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù),是否是“類周期函數(shù)”,并證明你的結(jié)論;
(2)求證:若函數(shù)是“類周期函數(shù)”,且是偶函數(shù),則是周期函數(shù);
(3)求證:當(dāng)時,函數(shù)一定是“類周期函數(shù)”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:的右準(zhǔn)線方程為x=2,且兩焦點(diǎn)與短軸的一個頂點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形.
(1)求橢圓C的方程;
(2)假設(shè)直線l:與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).①若A為橢圓的上頂點(diǎn),M為線段AB中點(diǎn),連接OM并延長交橢圓C于N,并且,求OB的長;②若原點(diǎn)O到直線l的距離為1,并且,當(dāng)時,求△OAB的面積S的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .若g(x)存在2個零點(diǎn),則a的取值范圍是
A. [–1,0) B. [0,+∞) C. [–1,+∞) D. [1,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知B島在A島正東方向距離12km處,C島在A島北偏東方向相離8km處.某船從A島出發(fā)向B島駛?cè)ィ⒃谂cB,C距離相等處待命.
(1)求此船航行的距離(精確到0.1km).
(2)若此船在待命處接到命令,以最少的時間行駛到C島,則此船應(yīng)沿什么方向行駛?
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