【題目】已知函數(shù).
(1)求證:函數(shù)在上為增函數(shù);
(2)當時,若恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)設,試討論函數(shù)的零點情況.
【答案】(1)答案見解析(2)(3)答案見解析
【解析】
(1)根據(jù)函數(shù)單調性的定義證明,即可求得答案;
(2)設,當時,恒成立,得到關于的不等式組,即可求得答案;
(3)求出的值域,問題轉化為求方程的實數(shù)根,令,得到方程,求出的值,通過討論的范圍,即可求得答案.
(1)設 是上的任意兩個數(shù),且,則
則
,
即
在上遞增;
(2),即
設
即當時,恒成立,
,
解得:
實數(shù)的范圍是
(3)
x>0,則
,
即,
當時,由(1)得遞增,遞增,
遞增,
g(x)的值域是,
的大致圖象如圖示:
,
函數(shù)的零點
方程的實數(shù)根,
令,即
解得:或,
時,滿足條件的實數(shù)根有且只有一個,
,
當,即時,函數(shù)有個零點,
當,即時,函數(shù)只有個零點,
當 ,即時,函數(shù)F(x)有個零點,
綜上所述,時,函數(shù)只有個零點,
時,函數(shù)有個零點,
時,函數(shù)有個零點.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)若函數(shù),求函數(shù)的極值;
(2)討論函數(shù)在定義域內極值點的個數(shù);
(3)設直線為函數(shù)的圖象上一點處的切線,證明:在區(qū)間上存在唯一的,使得直線與曲線相切.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】從某校隨機抽取100名學生,獲得了他們一周課外閱讀時間(單位:小時)的數(shù)據(jù),整理得到頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖如下.
組號 | 分組 | 頻數(shù) |
1 | [0,2) | 6 |
2 | [2,4) | 8 |
3 | [4,6) | 17 |
4 | [6,8) | 22 |
5 | [8,10) | 25 |
6 | [10,12) | 12 |
7 | [12,14) | 6 |
8 | [14,16) | 2 |
9 | [16,18) | 2 |
合計 | 100 |
(1)從該校隨機選取一名學生,試估計這名學生該周課外閱讀時間少于12小時的頻率;
(2)求頻率分布直方圖中的a,b的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的左、右焦點分別是、,離心率,過點的直線交橢圓于、兩點, 的周長為16.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知為原點,圓: ()與橢圓交于、兩點,點為橢圓上一動點,若直線、與軸分別交于、兩點,求證: 為定值.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
已知曲線的極坐標方程是,以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標系,直線的參數(shù)方程是(是參數(shù)),
(Ⅰ)寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(Ⅱ)設曲線經(jīng)過伸縮變換得到曲線,曲線任一點為,求點直線的距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,某企業(yè)的兩座建筑物AB,CD的高度分別為20m和40m,其底部BD之間距離為20m.為響應創(chuàng)建文明城市號召,進行亮化改造,現(xiàn)欲在建筑物AB的頂部A處安裝一投影設備,投影到建筑物CD上形成投影幕墻,既達到亮化目的又可以進行廣告宣傳.已知投影設備的投影張角∠EAF為,投影幕墻的高度EF越小,投影的圖像越清晰.設投影光線的上邊沿AE與水平線AG所成角為α,幕墻的高度EF為y(m).
(1)求y關于α的函數(shù)關系式,并求出定義域;
(2)當投影的圖像最清晰時,求幕墻EF的高度.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】從一張半徑為3的圓形鐵皮中裁剪出一塊扇形鐵皮(如圖1陰影部分),并卷成一個深度為米的圓錐筒(如圖2).若所裁剪的扇形鐵皮的圓心角為.
(1)求圓錐筒的容積;
(2)在(1)中的圓錐內有一個底面圓半徑為的內接圓柱(如圖3),求內接圓柱側面積最大時的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知不等式.
(1)是否存在實數(shù)m,使不等式對任意恒成立?并說明理由.
(2)若不等式對任意恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
(3)若對于,不等式恒成立,求實數(shù)x的取值范圍.
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