Question

（2013•東城區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=lnx+

a

x

（a＞0）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）如果P（x₀，y₀）是曲線y=f（x）上的任意一點(diǎn)，若以P（x₀，y₀）為切點(diǎn)的切線的斜率k≤

1

2

恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值；
（3）討論關(guān)于x的方程f（x）=

x3+2(bx+a)

2x

-

1

2

的實(shí)根情況．

Answer 1

分析：（1）求出原函數(shù)的定義域，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)把定義域分段，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）把原函數(shù)求導(dǎo)后直接得到斜率的表達(dá)式，代入k≤

1

2

后把參數(shù)a分離出來，然后利用二次函數(shù)求最值得到實(shí)數(shù)a的最小值；
（3）把f（x）=lnx+

a

x

代入f（x）=

x3+2(bx+a)

2x

-

1

2

，整理后得b=lnx-

1

2

x2+

1

2

，討論原方程的根的情況，即討論方程b=lnx-

1

2

x2+

1

2

的根的情況，引入輔助函數(shù)h(x)=lnx-

1

2

x2-b+

1

2

，求導(dǎo)得到函數(shù)在（0，+∞）上的最大值，由最大值大于0，等于0，小于0分析b的取值情況．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=lnx+

a

x

（a＞0）的定義域?yàn)椋?，+∞），
則f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

．
因?yàn)閍＞0，由f^′（x）＞0得x∈（a，+∞），由f^′（x）＜0得x∈（0，a），
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，a）．
（Ⅱ）由題意，以P（x₀，y₀）為切點(diǎn)的切線的斜率k滿足
k=f′(x0)=

x0-a

x02

≤

1

2

（x₀＞0），
所以a≥-

1

2

x02+x0對x₀＞0恒成立．
又當(dāng)x₀＞0時(shí)，-

1

2

x02+x0=-

1

2

(x0-1)2+

1

2

≤

1

2

，
所以a的最小值為

1

2

．
（Ⅲ）由f（x）=

x3+2(bx+a)

2x

-

1

2

，即lnx+

a

x

=

x3+2(bx+a)

2x

-

1

2

．
化簡得b=lnx-

1

2

x2+

1

2

（x∈（0，+∞））．
令h(x)=lnx-

1

2

x2-b+

1

2

，則h′(x)=

1

x

-x=

(1+x)(1-x)

x

．
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h^′（x）＞0，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h^′（x）＜0，
所以h（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減．
所以h（x）在x=1處取得極大值即最大值，最大值為h(1)=ln1-

1

2

×12-b+

1

2

=-b．
所以 
 當(dāng)-b＞0，即b＜0時(shí)，y=h（x） 的圖象與x軸恰有兩個(gè)交點(diǎn)，方程f（x）=

x3+2(bx+a)

2x

-

1

2

有兩個(gè)實(shí)根，
當(dāng)b=0時(shí)，y=h（x） 的圖象與x軸恰有一個(gè)交點(diǎn)，方程f（x）=

x3+2(bx+a)

2x

-

1

2

有一個(gè)實(shí)根，
當(dāng)b＞0時(shí)，y=h（x） 的圖象與x軸無交點(diǎn)，方程f（x）=

x3+2(bx+a)

2x

-

1

2

無實(shí)根．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了導(dǎo)數(shù)在求最值中的應(yīng)用，訓(xùn)練了分離變量法求參數(shù)的取值范圍，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬難度稍大的題型．