Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}$-ax+b，在點(diǎn)M（1，f（1））處的切線方程為9x+3y-10=0，求
（1）實(shí)數(shù)a，b的值；            
（2）函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間以及在區(qū)間[0，3]上的最值．

Answer 1

分析 （1）求出曲線的斜率，切點(diǎn)坐標(biāo)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)值域斜率的關(guān)系，即可求出a，b．
（2）求出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性以及求解閉區(qū)間的函數(shù)的最值．

解答 解：（1）因?yàn)樵邳c(diǎn)M（1，f（1））處的切線方程為9x+3y-10=0，
所以切線斜率是k=-3----------------------（1分）
且9×1+3f（1）-10=0，
求得$f（1）=\frac{1}{3}$，即點(diǎn)$M（1，\;\frac{1}{3}）$----------------------（2分）
又函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-ax+b$，則f′（x）=x²-a----------------------（3分）
所以依題意得$\left\{{\begin{array}{l}{{f^′}（1）=1-a=-3}\\{f（1）=\frac{1}{3}-a+b=\frac{1}{3}}\end{array}}\right.$----------------------（5分）
解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=4}\end{array}}\right.$----------------------（6分）
（2）由（1）知$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4x+4$
所以f′（x）=x²-4=（x+2）（x-2）----------------------（7分）
令f′（x）=0，解得x=2或x=-2
當(dāng)f′（x）＞0⇒x＞2或x＜-2；當(dāng)f′（x）＜0⇒-2＜x＜2
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，2），（2，+∞）
單調(diào)遞減區(qū)間是（-2，2）----------------------（9分）
又x∈[0，3]
所以當(dāng)x變化時(shí)，f（x）和f′（x）變化情況如下表：

X	0	（0，2）	2	（2，3）	3
f′（x）		-	0	+	0
f（x）	4	↘	極小值$-\frac{4}{3}$	↗	1

所以當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，f（x）_max=f（0）=4，
$f{（x）_{min}}=f（2）=-\frac{4}{3}$----------------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程以及閉區(qū)間上函數(shù)的最值求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．