Question

16．以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位．已知：直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{\sqrt{3}}{2}t\end{array}$   （t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為（1+sin²θ）ρ²=2．
（1）寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P為（1，0），求$\frac{1}{|AP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|BP{|}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{\sqrt{3}}{2}t\end{array}$   （t為參數(shù)），消去參數(shù)t得直線l的普通方程；曲線C的極坐標(biāo)方程ρ²+ρ²sin²θ=2，化成直角坐標(biāo)方程為x²+2y²=2；
（2）將直線l的參數(shù)方程代入曲線C：x²+2y²=2，得7t²+4t-4=0，利用參數(shù)的幾何意義，即可求$\frac{1}{|AP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|BP{|}^{2}}$．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{\sqrt{3}}{2}t\end{array}$   （t為參數(shù)），消去參數(shù)t得直線l的普通方程為$\sqrt{3}$x-y-$\sqrt{3}$=0，
曲線C的極坐標(biāo)方程ρ²+ρ²sin²θ=2，化成直角坐標(biāo)方程為x²+2y²=2，即$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．（5分）
（2）將直線l的參數(shù)方程代入曲線C：x²+2y²=2，得7t²+4t-4=0．
設(shè)A，B兩點(diǎn)在直線l的參數(shù)方程中對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，
則t₁+t₂=-$\frac{4}{7}$，t₁t₂=-$\frac{4}{7}$，
∴$\frac{1}{|AP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|BP{|}^{2}}$=$\frac{1}{|{t}_{1}{|}^{2}}$+$\frac{1}{|{t}_{2}{|}^{2}}$=$\frac{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-2{t}_{1}{t}_{2}}{（{t}_{1}{t}_{2}）^{2}}$=$\frac{9}{2}$．（12分）

點(diǎn)評 本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，考查參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．