Question

已知橢圓的離心率為，直線l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心、橢圓C₁的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)橢圓C₁的左焦點(diǎn)為F₁，右焦點(diǎn)為F₂，直線l₁過點(diǎn)F₁且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線l₂垂直于直線l₁，垂足為點(diǎn)P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C₂的方程；
（3）設(shè)C₂與x軸交于點(diǎn)Q，不同的兩點(diǎn)R，S在C₂上，且滿足，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由離心率為，求出a，b，c的關(guān)系，再利用直線l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心、橢圓C₁的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切，求出b即可求橢圓C₁的方程；
（2）把題中條件轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以l₁：x=-1為準(zhǔn)線，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的拋物線，即可求點(diǎn)M的軌跡C₂的方程；
（3）先設(shè)出點(diǎn)R，S的坐標(biāo)，利用求出點(diǎn)R，S的坐標(biāo)之間的關(guān)系，再用點(diǎn)R，S的坐標(biāo)表示出，利用函數(shù)求最值的方法即可求的取值范圍．
解答：解：（1）由得2a²=3b²，又由直線l：y=x+2與圓x²+y²=b²相切，
得，，∴橢圓C₁的方程為：．（4分）
（2）由MP=MF₂得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以l₁：x=-1為準(zhǔn)線，
F₂為焦點(diǎn)的拋物線，∴點(diǎn)M的軌跡C₂的方程為y²=4x．（8分）
（3）Q（0，0），設(shè)，
∴，
由，得，∵y₁≠y₂
∴化簡(jiǎn)得，（10分）
∴（當(dāng)且僅當(dāng)y₁=±4時(shí)等號(hào)成立），
∵，
又∵y₂²≥64，∴當(dāng)y₂²=64，即y₂=±8時(shí)，
∴的取值范圍是．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)圓與橢圓知識(shí)的綜合考查．當(dāng)直線與圓相切時(shí)，可以利用圓心到直線的距離等于半徑求解．，也可以把直線與圓的方程聯(lián)立讓對(duì)應(yīng)方程的判別式為0求解．