Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c．
（1）若a≠c且f（1）=0，證明：方程f（x）=0有兩個不同實數(shù)根；
（2）證明：若x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），則方程f(x)-

f(x 1)+f(x 2)

2

=0必有一實根在區(qū)間 （x₁，x₂）內(nèi)．

Answer 1

分析：（1）要證明方程f（x）=0有兩個不同實數(shù)根，只要△=b²-4ac=（a+c）²-4ac＞0即可；
（2）令g（x）=f（x）-

f(x1)+f(x2)

2

，則由g（x₁）=f（x₁）-

f(x1)+f(x2)

2

=

f(x1)-f(x2)

2

，g（x₂）=f（x₂）-

f(x1)+f(x2)

2

=-

f(x1)-f(x2)

2

及g（x）的圖象是連續(xù)可證．

解答：解：（1）∵f（1）=0
∴a+b+c=0，即b=-a-c； （2分）
又對f（x）=0有△=b²-4ac=（-a-c）²-4ac=（a-c）²
∵a≠c，∴△=（a-c）²＞0．故方程f（x）=0有兩個不同實數(shù)根；（6分）
（2）設(shè)g(x)=f(x)-

f(x 1)+f(x 2)

2

（8分）
考慮：

g(x1)g(x2)=[f(x1)- f(x 1)+f(x 2) 2 ][f(x2)- f(x 1)+f(x 2) 2 ] = [f(x 1)-f(x 2)][f(x 2)-f(x 1)] 4 ＜0

∴對二次函數(shù)y=g（x）的圖象在（x₁，x₂）內(nèi)必至少穿過橫軸一次，
∴方程f(x)=

f(x 1)+f(x 2)

2

必有一實根在區(qū)間 （x₁，x₂）內(nèi)．（12分）

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化，一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)．