Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{c_n}滿足，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．
（Ⅲ）張三同學(xué)利用第（Ⅱ）題中的T_n設(shè)計(jì)了一個(gè)程序流程圖，但李四同學(xué)認(rèn)為這個(gè)程序如果被執(zhí)行會(huì)是一個(gè)“死循環(huán)”（即程序會(huì)永遠(yuǎn)循環(huán)下去，而無(wú)法結(jié)束）．你是否同意李四同學(xué)的觀點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用，a₁=S₁；當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1可求
（Ⅱ）根據(jù)題意需要分類討論：當(dāng)n為偶數(shù)和n為奇數(shù)兩種情況，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式可求
（Ⅲ） 記d_n=T_n-P，結(jié)合（II）中的求和可得d_n，進(jìn)而可判斷d_n的單調(diào)性，分n為偶數(shù)，奇數(shù)兩種情況討論d_n的范圍，結(jié)合所求d_n可判斷其循環(huán)規(guī)律，從而可知判斷
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2；
當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n+1，則
（Ⅱ）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n-1為偶數(shù)，
則
（Ⅲ） 記d_n=T_n-P
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，．
所以從第4項(xiàng)開(kāi)始，數(shù)列{d_n}的偶數(shù)項(xiàng)開(kāi)始遞增，而且d₂，d₄，…，d₁₀均小于2012，d₁₂＞2012，
則d_n≠2012（n為偶數(shù)）．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，．
所以從第5項(xiàng)開(kāi)始，數(shù)列{d_n}的奇數(shù)項(xiàng)開(kāi)始遞增，而且d₁，d₃，…，d₁₁均小于2012，d₁₃＞2012，
則d_n≠2012（n為奇數(shù)）
．故李四同學(xué)的觀點(diǎn)是正確的．
點(diǎn)評(píng)：本題以程序框圖為載體綜合考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的和的求解，體現(xiàn)了分類 討論思想的應(yīng)用，