Question

3．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1，設(shè)直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)C，求三角形ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 不妨設(shè)直線AB的方程x=ky+m，將直線的方程代入橢圓的方程，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式即可求得m值，從而解決問題．

解答 解：不妨設(shè)直線AB的方程x=ky+m．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ky+m}\\{{x}^{2}+9{y}^{2}=9}\end{array}\right.$，消去x得（k²+9）y²+2kmy+m²-9=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有y₁+y₂=-$\frac{2km}{9+{k}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{{m}^{2}-9}{9+{k}^{2}}$．①
因?yàn)橐訟B為直徑的圓過點(diǎn)C（3，0），
所以$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=0．
由 $\overrightarrow{CA}$=（x₁-3，y₁），$\overrightarrow{CB}$=（x₂-3，y₂），
得 （x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=0．
將x₁=ky₁+m，x₂=ky₂+m代入上式，
得 （k²+1）y₁y₂+k（m-3）（y₁+y₂）+（m-3）²=0．
將 ①代入上式，解得m=$\frac{12}{5}$或m=3（舍）．
所以m=$\frac{12}{5}$，令D是直線AB與X軸的交點(diǎn)，則|DC|=$\frac{3}{5}$，
則有S_△ABC=$\frac{1}{2}$|DC|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{5}$$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\frac{9}{5}$•$\sqrt{\frac{25（{k}^{2}+9）-1444}{25（{k}^{2}+9）^{2}}}$，
設(shè)t=$\frac{1}{{k}^{2}+9}$，0＜t＜$\frac{1}{9}$，則S_△ABC=$\frac{9}{5}$•$\sqrt{-\frac{144}{25}{t}^{2}+t}$．
所以當(dāng)t=$\frac{25}{288}$時(shí)，S_△ABC取得最大值$\frac{3}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和三角形面積的最大值，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．