Question

某企業(yè)為適應(yīng)市場需求，準(zhǔn)備投入資金16萬元生產(chǎn)W和R型兩種產(chǎn)品．經(jīng)市場預(yù)測，生產(chǎn)W型產(chǎn)品所獲利潤y_W（萬元）與投入資金x_W（萬元）成正比例關(guān)系，且當(dāng)投入資金為6萬元時，可獲利潤1.5 萬元．生產(chǎn)R型產(chǎn)品所獲利潤y_R（萬元）與投入資金x_R（萬元）滿足關(guān)系yR=

1

2

xR

．為獲得最大總利潤，問生產(chǎn)W、R型產(chǎn)品各應(yīng)投入資金多少萬元？獲得的最大總利潤是多少？

Answer 1

分析：若設(shè)生產(chǎn)R型產(chǎn)品投入資金為x萬元，則生產(chǎn)W型產(chǎn)品投入資金為（16-x）萬元，所獲總利潤y=

1.5

6

（16-x）+

1

2

x

，其中x∈[0，16]，通過換元，令

x

=t，則y=-

1

4

t2+

1

2

t+4=-

1

4

(t-1)2+

17

4

；容易求得y的最大值以及對應(yīng)的x的值．

解答：解：設(shè)生產(chǎn)R型產(chǎn)品投入資金為x萬元，則生產(chǎn)W型產(chǎn)品的投入資金為（16-x）萬元，所獲總利潤為y萬元．
則由題意，得：y=

1

4

(16-x)+

1

2

x

，x∈[0，16]
令

x

=t，則y=-

1

4

t2+

1

2

t+4=-

1

4

(t-1)2+

17

4

所以t=1，即x=1²=1時，y取最大值ymax=

17

4

（萬元）
此時，16-x=15（萬元）
所以，生產(chǎn)W型產(chǎn)品投入資金15萬元，R型產(chǎn)品投入1萬元時，獲得最大總利潤，是

17

4

萬元．

點(diǎn)評：本題通過換元法，考查了二次函數(shù)模型的應(yīng)用，并且利用二次函數(shù)的性質(zhì)求其最值問題，是基礎(chǔ)題．