Question

某企業(yè)為適應(yīng)市場需求，準(zhǔn)備投入資金20萬生產(chǎn)W和R型兩種產(chǎn)品．經(jīng)市場預(yù)測，生產(chǎn)W型產(chǎn)品所獲利潤y_w（萬元）與投入資金x_w（萬元）成正比例關(guān)系，又估計(jì)當(dāng)投入資金6萬元時，可獲利潤1.2萬元．生產(chǎn)R型產(chǎn)品所獲利潤y_R（萬元）與投入資金x_R（萬元）的關(guān)系滿足yR=

5

4

xR

，為獲得最大利潤，問生產(chǎn)W，R型兩種產(chǎn)品各應(yīng)投入資金多少萬元？獲得的最大利潤是多少？（精確到0.01萬元）

Answer 1

分析：若設(shè)生產(chǎn)R型產(chǎn)品投入資金為x萬元，則生產(chǎn)W型產(chǎn)品投入資金為（20-x）萬元，所獲總利潤y=

1.2

6

（20-x）+

5

4

x

，其中x∈[0，20]，通過換元，令

x

=t，則y=-

1

5

t²+

5

4

t+4，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)容易求得y的最大值以及對應(yīng)的x的值．

解答：解：設(shè)生產(chǎn)R型產(chǎn)品投入資金為x萬元，則生產(chǎn)W型產(chǎn)品的投入資金為（20-x）萬元，所獲總利潤為y萬元．
則由題意，得：y=

1.2

6

（20-x）+

5

4

x

，其中x∈[0，20]，
令

x

=t，則y=-

1

5

t²+

5

4

t+4=-

1

5

（t-

25

8

）²+4+

125

64

所以t=

25

8

，即x=

625

64

時，y取最大值5.95（萬元）
此時，20-

625

64

=

655

64

（萬元）
所以，生產(chǎn)W型產(chǎn)品投入資金

655

64

萬元，R型產(chǎn)品投入

625

64

萬元時，獲得最大總利潤，是5.95萬元．

點(diǎn)評：本題通過換元法，考查了二次函數(shù)模型的應(yīng)用，并且利用二次函數(shù)的性質(zhì)求其最值問題，是基礎(chǔ)題．