Question

對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，方程（k²+1）x²-2（a+k）²x+k²+4k+b=0總有一個(gè)根是1，試求實(shí)數(shù)a，b的值及另一個(gè)根的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得，4k（1-a）+b-2a²=0 對(duì)對(duì)于任意實(shí)數(shù)k恒成立，可得1-a=0，求得a的值，可得b的值，即（x-1）[（k²+1）x-（k²+4k+1）]=0，可得另一個(gè)實(shí)數(shù)根為

k2+4k+1

k2+1

=1+

4k

k2+1

．再利用基本不等式求得另一個(gè)根的范圍．

解答： 解：由題意可得對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，（k²+1）-2（a+k）² +k²+4k+b=0，
即 4k（1-a）+1+b-2a²=0 對(duì)對(duì)于任意實(shí)數(shù)k恒成立，∴1-a=0，即a=1，
故有b=1，方程即：（k²+1）x²-2（1+k）²x+k²+4k+1=0，
即（x-1）[（k²+1）x-（k²+4k+1）]=0，
故另一個(gè)實(shí)數(shù)根為

k2+4k+1

k2+1

=1+

4k

k2+1

．
∵k²+1≥2|k|，∴

k2+4k+1

k2+1

∈[-

1

2

，

1

2

]，
故方程的另一個(gè)根的范圍是[-

1

2

，

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．