Question

4．設(shè)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$是單位向量，且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，則（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow+2\overrightarrow{c}$）的最小值為2-$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 $\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$是單位向量，且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，可設(shè)$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）．利用向量坐標(biāo)運(yùn)算、向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$是單位向量，且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，
∴可設(shè)$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）．
∴（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow+2\overrightarrow{c}$）
=（1+cosθ，sinθ）•（2cosθ，1+2sinθ）
=2cos²θ+2cosθ+2sin²θ+sinθ
=$\sqrt{5}$sin（θ+φ）+2≥2-$\sqrt{5}$，
當(dāng)sin（θ+φ）=-1時(shí)取等號(hào)．
∴（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow+2\overrightarrow{c}$）的最小值為2-$\sqrt{5}$．
故答案為：2-$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量坐標(biāo)運(yùn)算、向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．