20.在2014年亞洲移動(dòng)通信博覽會(huì)上,中國(guó)移動(dòng)表示投資將超過(guò)2400億元,根據(jù)規(guī)劃,某地移動(dòng)公司需要在如圖所示的三角形地帶OAC區(qū)域內(nèi)建造甲、乙兩個(gè)基站,甲站建立在區(qū)域BOC內(nèi),乙站建立區(qū)域AOB內(nèi),分界線OB固定,且OB=(1+$\sqrt{3}$)km,邊界線AC始終過(guò)點(diǎn)B,∠AOC=75°,∠AOB=30°,設(shè)OA=x(3≤x≤6)km,OC=ykm
(1)試將y表示成x的函數(shù),并求出函數(shù)y的解析式
(2)當(dāng)x取何值時(shí),兩個(gè)基站的占地面積S△OAC最。坎⑶蟪鲎钚∶娣e.

分析 (1)由圖形知,S△BOC+S△AOB=S△AOC,代入面積公式,求出函數(shù)y的解析式;
(2)由(1)知,函數(shù)y的解析式,求出S△AOC的表達(dá)式,利用基本不等式求出S△OAC最小時(shí),x的取值以及最小面積是什么.

解答 解:(1)結(jié)合圖形可知,S△BOC+S△AOB=S△AOC
于是,$\frac{1}{2}$x(1+$\sqrt{3}$)sin30°+$\frac{1}{2}$y(1+$\sqrt{3}$)sin45°=$\frac{1}{2}$xysin75°,
解得:y=$\frac{\sqrt{2}x}{x-2}$,(其中3≤x≤6).
(2)由(1)知,y=$\frac{\sqrt{2}x}{x-2}$(3≤x≤6),
因此,S△AOC=$\frac{1}{2}$xysin75°
=$\frac{1+\sqrt{3}}{4}$•$\frac{{x}^{2}}{x-2}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{4}$[(x-2)+$\frac{4}{x-2}$+4]
≥2+2$\sqrt{3}$(當(dāng)且僅當(dāng)x-2=$\frac{4}{x-2}$,即x=4時(shí),等號(hào)成立).
∴當(dāng)x=400米時(shí),整個(gè)中轉(zhuǎn)站的占地面積S△OAC最小,最小面積是(2+2$\sqrt{3}$)×104平方米.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求函數(shù)的解析式以及利用基本不等式求函數(shù)的最值問(wèn)題,解題時(shí)應(yīng)根據(jù)題意,列出等量關(guān)系,求出函數(shù)的解析式,是綜合題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

10.設(shè)函數(shù)f(x)=x|x-a|-x(x∈R).
(1)試討論f(x)的奇偶性;
(2)存在實(shí)數(shù)a對(duì)任意的x∈[0,t],不等式-4≤f(x)≤6恒成立,求實(shí)數(shù)t的最大值及此時(shí)a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

11.有下列四組命題:
①P:集合A⊆B,B⊆C,C⊆A,Q:集合A=B=C;
②P:A∩B=A∩C,Q:B=C;
③P:(x-2)(x-3)=0,Q:$\frac{x-2}{x-3}$=0;
④P:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)過(guò)原點(diǎn),Q:c=0
其中P是Q的充要條件的有 ( 。
A.①、②B.①、④C.②、③D.②、④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

8.函數(shù)y=|2x-2|的單調(diào)增區(qū)間為[1,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(-∞,1].

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15.已知集合A={x|2${\;}^{x-{x}^{2}}$>1},B={x|lg(x2-2ax+a2+1)>0}
(1)當(dāng)a=1時(shí),求A∩B
(2)若A∪B=R,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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5.已知a=$0.{3}^{-\frac{1}{2}}$,b=$3.{5}^{\frac{2}{3}}$,c=$0.{3}^{-\frac{1}{3}}$,則(  )
A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.b>a>c

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12.計(jì)算下列各式(式中每個(gè)字母均為正數(shù)).
①$\frac{(2{x}^{\frac{1}{4}}{y}^{-\frac{2}{3}})•(-3{x}^{\frac{1}{4}}{y}^{\frac{1}{3}})^{3}}{4x{y}^{-\frac{2}{3}}}$;
②2a${\;}^{\frac{1}{4}}$b${\;}^{-\frac{1}{3}}$÷(-$\frac{1}{8}$a${\;}^{-\frac{1}{4}}$b${\;}^{-\frac{2}{3}}$);
③(2x${\;}^{\frac{1}{4}}$+3${\;}^{\frac{3}{2}}$)(2x${\;}^{\frac{1}{4}}$-3${\;}^{\frac{3}{2}}$)-4x${\;}^{-\frac{1}{2}}$(x-x${\;}^{\frac{1}{2}}$).

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9.已知f(x)是偶函數(shù),x≥0時(shí),f(x)=-2x2+4x.畫出f(x)在R上的函數(shù)圖象.

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13.△ABC中,∠A=$\frac{π}{6}$,BC=1,AB=$\sqrt{2}$,則∠C=(  )
A.$\frac{π}{6}$B.$\frac{π}{4}$C.$\frac{3π}{4}$D.$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$

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同步練習(xí)冊(cè)答案