Question

某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，設(shè)一年的總運費與總存儲費用之和為y．
（1）列出y與x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）問x為何值時，y有最小值？并求出其最小值；
（3）若該公司考慮到本公司實際情況，每次購買量都不超過16噸（即x≤16），問x為何值時，y有最小值？

Answer 1

分析：（1）由于某公司每次都購買x噸，一年購買某種貨物400噸，得出需要購買的次數(shù)，從而求得一年的總運費與總存儲費用之和，即可列出y與x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)關(guān)系，利用基本不等式求得一年的總運費與總存儲費用之和最小即可；
（3）根據(jù)每次購買量都不超過16噸，利用函數(shù)單調(diào)性的定義確定函數(shù)的單調(diào)性，運用函數(shù)的單調(diào)性即可求得答案．

解答：解：（1）∵每次都購買x噸，一年購買某種貨物400噸，
∴需要購買

400

x

次，
∴一年的總運費為4×

400

x

=

1600

x

萬元，且一年的總存儲費用為4x萬元，
∵一年的總運費與總存儲費用之和為y，
故y與x的函數(shù)表達(dá)式為y=

1600

x

+4x（x＞0）；
（2）由（1）可知，y=

1600

x

+4x，
∵x＞0，
則由基本不等式可得，y=

1600

x

+4x≥2

1600 x •4x

=160，
當(dāng)且僅當(dāng)4x=

1600

x

，即x=20時取“=”，
∴y_min=160，
∴每次都購買20噸時，一年的總運費與總存儲費用之和y的最小值為160萬元；
（3）由題意可知，0＜x≤16，
令f（x）=

1600

x

+4x，（0＜x≤16）
設(shè)x₁＜x₂≤16，則f(x2)-f(x1)=(

1600

x2

+4x2)-(

1600

x1

+4x1)=

4(x2-x1)(x1x2-400)

x1 x2

，
∵x₁＜x₂≤16，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，x₁x₂-400＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），
故f（x）=

1600

x

+4x在（0，16]上為單調(diào)遞減函數(shù)，
∴當(dāng)x=16時，f（x）取得最小值為y_min=164，
故每次都購買16噸時，一年的總運費與總存儲費用之和y的最小值為164萬元．

點評：本題考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．本題建立數(shù)學(xué)模型求最值時，第（2）題運用了基本不等式求最值，第（3）題運用了函數(shù)的單調(diào)性求最值．屬于中檔題．