Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E在棱CC₁的延長線上，且CC₁=C₁E=BC=AB=1．
①求證：D₁E∥平面ACB₁；
②求證：平面D₁B₁E⊥平面DCB₁．

Answer 1

解：①連接DC₁，因為ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體，且CC₁=C₁E，
所以DD₁∥C₁E且DD₁=C₁E，DD₁EC₁是平行四邊形，DC₁∥D₁E．
又因為AD∥B₁C₁且AD=B₁C₁，ADC₁B₁是平行四邊形，DC₁∥AB₁，
所以D₁E∥AB₁．
因為AB₁?平面ACB₁，D₁E?平面ACB₁，
所以D₁E∥平面ACB₁．

②連接AD₁、DA₁，則平面DCB₁即平面A₁B₁CD，由①D₁E∥AB₁，知平面D₁B₁E即平面AD₁EB₁．
因為ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體，CD⊥平面ADD₁A₁，
所以CD⊥AD₁．矩形ADD₁A₁中，AD=DD₁，
所以A₁D⊥AD₁，又A₁D∩CD=D，
所以AD₁⊥平面A₁B₁CD，AD₁?平面AD₁EB₁，
所以平面AD₁EB₁⊥平面A₁B₁CD．
分析：①連接DC₁，欲證D₁E∥平面ACB₁，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證D₁E與平面平面ACB₁內(nèi)一直線平行，而D₁E∥AB₁，AB₁?平面ACB₁，D₁E?平面ACB₁，滿足定理條件；
②連接AD₁、DA₁，欲證平面AD₁EB₁⊥平面A₁B₁CD，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面AD₁EB₁內(nèi)一直線與平面A₁B₁CD垂直，而根據(jù)題意可得AD₁⊥平面A₁B₁CD，AD₁?平面AD₁EB₁，滿足定理條件．
點評：從中可以體會以下幾點，一是依據(jù)判定定理整體思考、形成思路；二是通過圖形變換，包括割、補、視圖和射影等，建立試題各要素之間；三是將不規(guī)則圖形向自己熟悉的規(guī)則圖形（特別是長方形）轉化，將基本空間圖形原有的性質(zhì)與試題條件有機結合，將試題要素“直接（直觀）”地聯(lián)系起來或凸顯出來，使問題求解自然而然．