已知橢圓C的對稱中心為原點O，焦點在x軸上，離心率為
1
2
，且點（1，
3
2
）在該橢圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C的左焦點F1的直線l與橢圓C相交于A、B兩點，若△AOB的面積為
6
2
7
，求直線l的方程．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：（1）設出橢圓方程，由離心率公式，以及a，b，c的關系，和已知點代入方程，求出a，b即可；
（2）求出左焦點坐標，設出直線l的方程，注意斜率不存在的情況，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，得到關于x的二次方程，運用韋達定理，再用弦長公式，求出原點到直線的距離，運用面積公式，列出方程，然后求出k2，即可得到l的方程．
解答： 解：（1）設橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1，
又e=
c
a
=
1
2
，a2-b2=c2，
1
a2
+
9
4
b2
=1，
解得，a=2，b=
3
，
∴橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1；
（2）由于F1（-1，0），設直線l的方程為x=-1或y=k（x+1），
若l；x=-1，則AB=
2×3
2
=3，△ABO的面積為
3
2
，不成立；
若l：y=k（x+1），將其代入橢圓方程，得到（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0
∴x1+x2=
-8k2
3+4k2
，x1x2=
4k2-12
3+4k2

∴AB=
1+k2
64k4
(3+4k2)2
-
16k2-48
3+4k2
=
1+k2
•
12
1+k2
3+4k2

又O到直線l的距離為
|k|
1+k2
，
∴S△AOB=
1
2
•
|k|
1+k2
•
12(1+k2)
3+4k2
=
6
2
7
，
解得k2=1，即k=±1，
∴直線l的方程為：y=±（x+1）．
點評：本題主要考查橢圓的方程和幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，以及弦長公式，考查運算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

用數(shù)學歸納法證明：
1
n+1
+
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
2n
＞
13
24
（n≥2，n∈N*）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在長方體ABCD-A1B1C1D1中，DC=2DD1，E，F(xiàn)分別為棱C1D1，BD的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面BCC1；
（Ⅱ）求證面ADE⊥面BCE．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

f（x）=axekx-1，g（x）=lnx+kx．
（Ⅰ）當a=1時，若f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，g（x）在（0，1）上是增函數(shù)，求k值；
（Ⅱ）對于任意k＞0，x＞0，f（x）＞g（x）恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點P（1，m）為角α終邊上一點，tan（α+
π
4
）=-3
（Ⅰ）求tanα及m的值；
（Ⅱ）求
sin2α-1
sinα+cosα
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，g（x）=ex．
（1）當a≤0時，求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若不等式g（x）＜
x-m
x
有解，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知復數(shù)z1=2t-t2+（t2+7t-7）i，z2=2-t+（3t2-1）i（t為實數(shù)，i為虛數(shù)單位），且復數(shù)z2-z1為純虛數(shù)．
（1）求t的值．
（2）復數(shù)z3=z12-2z2，試求z3的模，并指出復平面內表示復數(shù)z3的點位于第幾象限．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M、N分別是BC和A1B1的中點．
求證：MN∥平面AA1C1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a∈R，復數(shù)
a
1-i
+
1-i
2
是純虛數(shù)，則a=
 
．

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