Question

f（x）=axe^kx-1，g（x）=lnx+kx．
（Ⅰ）當a=1時，若f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，g（x）在（0，1）上是增函數(shù)，求k值；
（Ⅱ）對于任意k＞0，x＞0，f（x）＞g（x）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）a=1時，f（x）=xe^kx-1，分別求出函數(shù)f（x），g（x）的導數(shù)，從而得出k的取值范圍；
（Ⅱ）設h（x）=f（x）-g（x）=axe^kx-lnx-kx-1（x＞0），求出h（x）的導數(shù)，通過討論a的取值范圍解決問題．

解答： 解：（Ⅰ）a=1時，f（x）=xe^kx-1，
∴f′（x）=（kx+1）e^kx，g′（x）=

1

x

+k，
f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，
則?x＞1，f′（x）≤0?k≤-

1

x

，
∴k≤-1；
∵g（x）在（0，1）上為增函數(shù)，
則?x∈（0，1），g′（x）≥0?k≥-

1

x

，
∴k≥-1；
綜上所述：k=-1．
（Ⅱ）設h（x）=f（x）-g（x）=axe^kx-lnx-kx-1（x＞0），
∴h′（x）=（kx+1）（ae^kx-

1

x

），
設u（x）=ae^kx-

1

x

，
∴u′（x）=ake^kx+

1

x2

，
①a≤0時，u（x）=ae^kx-

1

x

＜0，
則h′（x）=（kx+1）（ae^kx-

1

x

）＜0，
∴h（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
h（x）＞0不恒成立；
②當a＞0時，u′(x)=akekx+

1

x2

＞0，
則在（0，+∞）上，u(x)=aekx-

1

x

是增函數(shù)，
u（x）的函數(shù)值由負到正，必有x₀∈（0，+∞），u（x₀）=0，
即aekx0=

1

x0

，兩邊取自然對數(shù)得，lna+kx₀=-lnx₀，
h（x）在（0，x₀）上是減函數(shù)，（x₀，+∞）上是增函數(shù)，
h(x)min=h(x0)=ax0ekx0-1-lnx0-kx0
=1-1-lnx₀-kx₀
=-lnx₀-kx₀
=lna
因此，lna＞0，
即a的取值范圍是（1，+∞）．

點評：本題考察了函數(shù)的單調性，導數(shù)的應用，求參數(shù)的取值，本題是一道綜合題．