Question

已知橢圓方程

x2

2

+y²=1，AB為橢圓的弦，且AB=2，求AB的中點M的軌跡方程．

Answer 1

考點：軌跡方程,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：首先對直線進(jìn)行分類討論（1）斜率不存在時（2）斜率存在時兩種情況：然后重點對（2）進(jìn)行分析，建立A、B與中點的坐標(biāo)關(guān)系，求出直線AB的直線方程．進(jìn)一步建立方程組，求出根和系數(shù)的關(guān)系式，以弦長為突破口建立等量關(guān)系，最后求出中點滿足的關(guān)系式．

解答： 解：（1）當(dāng)直線AB的斜率不存在時，當(dāng)弦長正好是橢圓的短軸時，AB=2
則：中點M的軌跡是原點．
（2）當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）  中點M（x₀，y₀）
則：x₁+x₂=2x₀  y₁+y₂=2y₀

x12 2 +y12=1 x22 2 +y22=1

解得：直線AB的斜率為k=

y2-y1

x2-x1

=-

x0

2y0

進(jìn)一步求得直線AB的直線方程為：y-y0=-

x0

2y0

(x-x0)
聯(lián)立得：

y-y0=- x0 2y0 (x-x0) x2 2 +y2=1

整理得：(2y02+x02)x2-(2x03+4y02x0)x+4x02y02x+4x02y02-x04=0
x₁+x₂=2x₀ 
x1x2=

4x02y02-x04

2y02+x02

由于AB=2
則：

1+( -x0 2y0 )2

|x1-x2|=2
即（1+

x02

4y02

)[(x1+x2)2-4x1x2]=4
經(jīng)過化簡得：10x04y02-8x02y04-3x06-8y04-4x02y02=0（-

2

＜x0＜

2

）
即：10x 4y 2-8x 2y 4-3x 6-8y 4-4x 2y 2=0  （-

2

＜x＜

2

）
由于原點滿足上式
則：中點M的軌跡方程是：10x 4y 2-8x 2y 4-3x 6-8y 4-4x 2y 2=0（-

2

＜x＜

2

）

點評：本題考查的知識要點：直線與橢圓的位置關(guān)系，直線根據(jù)斜率的存在性的分類討論，弦長公式的應(yīng)用，根和系數(shù)的關(guān)系，及相關(guān)的運算問題．