Question

設二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的一個零點是-1，且滿足[f（x）-x]•[f（x）-

x2+1

2

]≤0恒成立．
（1）求f（1）的值；
（2）求f（x）的解析式．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)解析式的求解及常用方法,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）利用均值不等式以及函數(shù)恒成立，推出1≤f（1）≤

12+1

2

=1，得到結(jié)果．
（2）由函數(shù)零點為-1，推出a-b+c=0，利用f（x）-x≥0恒成立，推出ac≥

1

16

，結(jié)合a+c=

1

2

，求出a=c=

1

4

，即可得到函數(shù)的解析式．

解答： 解：（1）由均值不等式得

x2+1

2

≥

2x

2

=x，
若[f（x）-x]•[f（x）-

x2+1

2

]≤0恒成立，
即x≤f（x）≤

x2+1

2

恒成立，
令x=1得1≤f（1）≤

12+1

2

=1，故f（1）=1．
（2）由函數(shù)零點為-1得f（-1）=0，即a-b+c=0，
又由（1）知a+b+c=1，所以解得a+c=b=

1

2

．
又f（x）-x=ax²+

1

2

x+c-x=ax²-

1

2

x+c，
因為f（x）-x≥0恒成立，所以△=

1

4

-4ac≤0，
因此ac≥

1

16

①
于是a＞0，c＞0．再由a+c=

1

2

，
得ac≤(

a+c

2

)2=

1

16

②
故ac=

1

16

，且a=c=

1

4

，
故f（x）的解析式是f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

．

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，解析式的求法，均值不等式的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．