Question

已知函數(shù)f（x）=kx+b的圖象與x、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，

AB

=2

i

+2

j

（

i

，

j

分別是與x、y軸正半軸同方向的單位向量），函數(shù)g（x）=x²-x-6．
（1）求k、b的值；
（2）若af（x）-g（x）≤1對(duì)于任意的x∈（-2，4）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)求得A，B的坐標(biāo)，進(jìn)一步得到

AB

的坐標(biāo)，由坐標(biāo)相等列式求得k，b的值；
（2）根據(jù)x的范圍求得f（x）的范圍，把a(bǔ)f（x）-g（x）≤1轉(zhuǎn)化為a≤

g(x)+1

f(x)

，利用基本不等式求最值后得答案．

解答： 解：（1）由已知得A（-

b

k

，0），B（0，b），
則

AB

=（

b

k

，b），
又

AB

=2

i

+2

j

，
于是

b

k

=2，b=2．
∴k=1，b=2；
（2）f（x）=x+2，當(dāng)x∈（-2，4）時(shí)，x+2＞0，
則af（x）-g（x）≤1對(duì)于任意的x∈（-2，4）恒成立等價(jià)于：
a≤

g(x)+1

f(x)

恒成立，
∵

g(x)+1

f(x)

=

x2-x-5

x+2

=x+2+

1

x+2

-5，
∴當(dāng)-2＜x＜4時(shí)0＜x+2＜6，

g(x)+1

f(x)

≥-3，
其中當(dāng)且僅當(dāng)x+2=1，即x=-1時(shí)等號(hào)成立．
∴

g(x)+1

f(x)

的最小值是-3．
∴a的取值范圍為（-∞，-3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的應(yīng)用，考查了分離變量法，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．