Question

已知A，B兩點(diǎn)均在焦點(diǎn)為F的拋物線y²=2px（p＞0）上，若，線段AB的中點(diǎn)到直線的距離為1，則p的值為

1. A.
   1
2. B.
   1或3
3. C.
   2
4. D.
   2或6

Answer 1

B
分析：如圖，設(shè)AB中點(diǎn)為M，A、B、M在準(zhǔn)線l上的射影分別為C、D、N，連接AC、BD、MN．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），根據(jù)拋物線定義和梯形的中位線定理，列式并化簡整理可得|2-p|=1，解之得p=1或3．
解答：分別過A、B作交線l：x=-的垂線，垂足分別為C、D，
設(shè)AB中點(diǎn)M在準(zhǔn)線上的射影為點(diǎn)N，連接MN，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀）
根據(jù)拋物線的定義，得
∴梯形ACDB中，中位線MN=（）=2，
可得x₀+=2，x
∵線段AB的中點(diǎn)M到直線的距離為1，可得|x₀-|=1
∴|2-p|=1，解之得p=1或3
故選：B
點(diǎn)評：本題給出拋物線的弦AB中點(diǎn)到直線的距離為1，并且F到A、B的距離之和為4的情況下求拋物線的解析式．著重考查了拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．