已知函數(shù),其中.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若直線是曲線的切線,求實數(shù)的值;
(3)設(shè),求在區(qū)間上的最大值.(其中為自然對數(shù)的底數(shù))
(1)的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是
(2)
(3)當(dāng)時,最大值為,
當(dāng)時, 的最大值為
【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用.
(1) 因為 函數(shù),其中.求導(dǎo)函數(shù),得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)因為直線是曲線的切線,設(shè)切點坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)表示出切線方程,利用對應(yīng)相等得到,實數(shù)的值;
(3) ,則,解,得,所以,在區(qū)間上,為遞減函數(shù),在區(qū)間上,為遞增函數(shù).然后分類討論得到結(jié)論。
解:(1),
在區(qū)間上,;在區(qū)間上, .
所以,的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是
(2)設(shè)切點坐標(biāo)為,則 解得.
(3),則,解,得,
所以,在區(qū)間上,為遞減函數(shù),在區(qū)間上,為遞增函數(shù).
當(dāng),即時,在區(qū)間上,為遞增函數(shù),
所以最大值為.
當(dāng),即時,在區(qū)間上,為遞減函數(shù),
所以最大值為.
當(dāng),即時,的最大值為和中較大者;
,解得,
所以,時,最大值為,
時, 最大值為.
綜上所述,當(dāng)時,最大值為,
當(dāng)時, 的最大值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(08年臨沂市質(zhì)檢一文)(14分)已知函數(shù)(其中a>0),且在點(0,0)處的切線與直線平行。
(1)求c的值;
(2)設(shè)的兩個極值點,且的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,求b的最大值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年北京市西城區(qū)高三上學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù),其中是自然對數(shù)的底數(shù),.
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時,求函數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年上海黃浦區(qū)高三上學(xué)期期末考試(即一模)文數(shù)學(xué)卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)(其中是實數(shù)常數(shù),)
(1)若,函數(shù)的圖像關(guān)于點(—1,3)成中心對稱,求的值;
(2)若函數(shù)滿足條件(1),且對任意,總有,求的取值范圍;
(3)若b=0,函數(shù)是奇函數(shù),,,且對任意時,不等式恒成立,求負(fù)實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆陜西省高二上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知函數(shù)(其中)的圖象如圖(上)所示,則函數(shù)的圖象是( )
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