已知數(shù)列{an}中，a3=a(a＞2),對(duì)一切n∈N*,an＞0,an+1=.

(1)求證：an＞2且an+1＜an;

(2)證明a1+a2+…+an＜2(n+a-2).
答案：
解析：

 證明：

(1)an+1=＞0,∴an＞1.

∴an-2=≥0.

∴an≥2.若存在ak=2,則ak-1=2,由此可推出ak-2=2,…,a1=2,此與a1=a＞2矛盾，故an＞2.

∵an+1-an=＜0,∴an+1＜an.

(2)由題（1）得an-2=,

∴an-2＜(n≥2).

∴(a1-2)+(a2-2)+…+(an-2)≤(a-2)(1++…+)

=(a-2)=2(a-2)(1-)＜2(a-2).

∴a1+a2+…+an＜2(n+a-2).


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)，則
lim
n→∞
an=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=
an
1+2an
，則{an}的通項(xiàng)公式an=
1
2n-1
1
2n-1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{
2n
an
}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=
1
2
，Sn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且Sn與
1
an
的一個(gè)等比中項(xiàng)為n(n∈N*），則
lim
n→∞
Sn=
1
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，2nan+1=（n+1）an，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為（　�。�
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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