如圖,A、B分別是橢圓的公共左右頂點(diǎn),P、Q分別位于橢圓和雙曲線上且不同于A、B的兩點(diǎn),設(shè)直線AP、BP、AQ、BQ的斜率分別為k1、k2、k3、k4且k1+k2+k3+k4=0.(1)求證:O、P、Q三點(diǎn)共線;(O為坐標(biāo)原點(diǎn))
(2)設(shè)F1、F2分別是橢圓和雙曲線的右焦點(diǎn),已知PF1∥QF2,求k12+k22+k32+k42的值.

【答案】分析:(1)先設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),由k1+k2+k3+k4=0得y1x2-y2x1=0,從而得出(x1,y1)∥(x2,y2)最后有:O、P、Q三點(diǎn)共線;
(2)由PF1∥QF2知|OP|:|OQ|=因?yàn)镺、P、Q三點(diǎn)共線再結(jié)合方程思想即可求k12+k22+k32+k42的值,從而解決問(wèn)題.
解答:解:(1)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
則k1+k2+k2+k4==…(2分)
又x12-4=-4y12,x22-4=4y22所以k1+k2+k3+k4==…(4分)       
由k1+k2+k3+k4=0得y1x2-y2x1=0
即(x1,y1)∥(x2,y2)所以O(shè)、P、Q三點(diǎn)共線        …(6分)
(2)由PF1∥QF2知|OP|:|OQ|=
因?yàn)镺、P、Q三點(diǎn)共線,
所以…①…(7分)              
設(shè)直線PQ的斜率為k,則…②
由①②得  k2=(9分)
又k1k2=,k3k4=…(10分)
從而k12+k22+k32+k42=(k1+k22+(k3+k42-2(k1k2+k3k4)=2(k1+k22=
=8…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查圓錐曲線的共同特征、直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題、雙曲線與橢圓的幾何性質(zhì)等知識(shí),考查學(xué)生用方程思想等解析幾何的基本思想與運(yùn)算能力、探究能力和推理能力.
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(2010•九江二模)如圖,A、B分別是橢圓
x2
4
+y2=1和雙曲線
x2
4
-y2=1
的公共左右頂點(diǎn),P、Q分別位于橢圓和雙曲線上且不同于A、B的兩點(diǎn),設(shè)直線AP、BP、AQ、BQ的斜率分別為k1、k2、k3、k4且k1+k2+k3+k4=0.(1)求證:O、P、Q三點(diǎn)共線;(O為坐標(biāo)原點(diǎn))
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如圖,A、B分別是橢圓的公共左右頂點(diǎn),P、Q分別位于橢圓和雙曲線上且不同于A、B的兩點(diǎn),設(shè)直線AP、BP、AQ、BQ的斜率分別為k1、k2、k3、k4且k1+k2+k3+k4=0.(1)求證:O、P、Q三點(diǎn)共線;(O為坐標(biāo)原點(diǎn))
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        如圖,A、B分別是橢圓的公共左右頂點(diǎn),P、Q分別位于橢圓和雙曲線上且不同于A、B的兩點(diǎn),設(shè)直線AP、BP、AQ、BQ的斜率分別為k1、k2、k3、k4且k1+k2­+k3+k4=0。

   (1)求證:O、P、Q三點(diǎn)共線;(O為坐標(biāo)原點(diǎn))

   (2)設(shè)F1、F2分別是橢圓和雙曲線的右焦點(diǎn),已知PF1//QF2,求的值。

 

 

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