Question

在如圖所示的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC．BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G為BC的中點．
（1）求證：AB∥平面DEG；
（2）求證：BD⊥EG；
（3）求二面角C-DF-E的正弦值．

Answer 1

（1）證明：∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC，
∵BC=2AD，G為BC的中點，∴AD∥BG，且AD=BG，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DG
因為AB不在平面DEG中，DG在平面DEG內，∴AB∥平面DEG．
（2）證明：∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，BE?平面AEB，
∴EF⊥AE，EF⊥BE，∵AE⊥EB，∴EB、EF、EA兩兩垂直．
以點E為坐標原點，EB、EF、EA所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，
由已知得：A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，2，2），F(xiàn)（0，3，0），G（2，2，0）．
∵，∴
∴BD⊥EG．
（3）解：由已知得是平面EFDA的法向量，設平面DCF的法向量為
∵，∴，令z=1，得x=-1，y=2，即．
設二面角C-DF-E的大小為θ，
則，∴
∴二面角C-DF-E的正弦值為．
分析：（1）要證AB∥平面DEG，可在平面DEG中找到一條直線與AB平行，根據(jù)題目給出的條件，能夠證得AB∥DG；
（2）根據(jù)題目條件先證明EB、EA、EF兩兩相互垂直，然后以E為原點，以EB、EF、EA所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，運用向量數(shù)量積等于0，從而證明BD⊥EG；
（3）在（2）的基礎上，求出二面角的兩個半平面的法向量，利用法向量求二面角的平面角的余弦值．
點評：本題考查了直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的性質，考查了運用平面法向量求二面角的三角函數(shù)值，解答此題的關鍵是正確建立空間直角坐標系，是中檔題