Question

【題目】已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，且， ， .

（Ⅰ）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和為.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）， ；（Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題意設(shè)數(shù)列的公差為， 的公比為，且，

由，，解得， ，，則數(shù)列和的通項(xiàng)公式可求；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， ，則

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)各有項(xiàng)，

∴.

令，利用錯(cuò)位相減法可得

故為偶數(shù)時(shí)， ，

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， 為偶數(shù)，

，

試題解析：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公差為， 的公比為，且，

由題易知， ， ，

由，得，

解得（舍去），此時(shí)，

∴， .

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， ，

∴，

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)各有項(xiàng)，

∴.

令，

∴，

，

以上兩式相減得，

，

.

故為偶數(shù)時(shí)， ，

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， 為偶數(shù)，

，

經(jīng)驗(yàn)證， 也適合上式，

綜上得