【題目】已知圓: 過橢圓: ()的短軸端點(diǎn), , 分別是圓與橢圓上任意兩點(diǎn),且線段長(zhǎng)度的最大值為3.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)作圓的一條切線交橢圓于, 兩點(diǎn),求的面積的最大值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)1.
【解析】試題分析: (Ⅰ)根據(jù)橢圓幾何性質(zhì)得線段長(zhǎng)度的最大值為,且,解出,得橢圓的方程;(Ⅱ)利用點(diǎn)斜式設(shè)直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,結(jié)合韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式可得底邊長(zhǎng)(用斜率及表示);利用點(diǎn)到直線距離公式得三角形的高(用斜率及表示);根據(jù)圓心到切線距離等于半徑得斜率與關(guān)系,代入面積公式并化簡(jiǎn)得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,最后利用基本不等式求最值.
試題解析:解:(Ⅰ)∵圓過橢圓的短軸端點(diǎn),∴,又∵線段長(zhǎng)度的最大值為3,
∴,即,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(Ⅱ)由題意可設(shè)切線的方程為,即,則,得.①
聯(lián)立得方程組消去整理得.
其中,
設(shè), ,則, ,
則.②
將①代入②得,∴,
而,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng),即.
綜上可知: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù)滿足對(duì)任意,,恒有,且不恒為0.
(1)求和的值;
(2)試判斷的奇偶性,并加以證明;
(3)若,恒有,求滿足不等式的的取值集合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)上的一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為(,),由此點(diǎn)到相鄰最低點(diǎn)間的曲線與x軸交于點(diǎn)(π,0),φ∈(﹣,).
(1)求這條曲線的函數(shù)解析式;
(2)寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐S-ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.過A作AF⊥SB,垂足為F,點(diǎn)E,G分別是棱SA,SC的中點(diǎn).
求證:(1)平面EFG∥平面ABC;
(2)BC⊥SA.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量m=(cosx,-1),n=,函數(shù)f(x)=(m+n)·m.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)已知a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,A為銳角,a=1,c=,且f(A)恰是函數(shù)f(x)在上的最大值,求A,b和△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,長(zhǎng)方形物體E在雨中沿面P(面積為S)的垂直方向作勻速移動(dòng),速度為,雨速沿E移動(dòng)方向的分速度為。E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量包括兩部分:(1)P或P的平行面(只有一個(gè)面淋雨)的淋雨量,假設(shè)其值與×S成正比,比例系數(shù)為;(2)其它面的淋雨量之和,其值為,記為E移動(dòng)過程中的總淋雨量,當(dāng)移動(dòng)距離d=100,面積S=時(shí)。
(1)寫出的表達(dá)式
(2)設(shè)0<v≤10,0<c≤5,試根據(jù)c的不同取值范圍,確定移動(dòng)速度,使總淋雨量最少。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大值,及y取最大值時(shí)x的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【四川省高2017屆第一次名校聯(lián)考(廣志聯(lián)考)(理)】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),存在使不等式成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若在區(qū)間上,函數(shù)的圖象恒在直線的下方,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬都是cm,高是4 cm.
(1)求BC和A′C′所成的角的度數(shù).
(2)求AA′和BC′所成的角的度數(shù).
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