Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=a²x²（a＞0）
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為$\sqrt{2}$，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接運用點到直線的距離公式，然后求解即可得到答案．
（2）關(guān)于由不等式解集整數(shù)的個數(shù)，然后求未知量取值范圍的題目，可利用恒等變換，把它轉(zhuǎn)化為求函數(shù)零點的問題，即可求解

解答 解：（1）因為f（x）=a²x²，所以f′（x）=2a²x，令f′（x）=2a²x=1
得：x=$\frac{1}{2{a}^{2}}$，此時y=$\frac{1}{4{a}^{2}}$，
則點（$\frac{1}{2{a}^{2}}$，$\frac{1}{4{a}^{2}}$）到直線x-y-3=0的距離為$\sqrt{2}$，
即$\sqrt{2}=\frac{|\frac{1}{2{a}^{2}}-\frac{1}{4{a}^{2}}-3|}{\sqrt{2}}$，解之得a=$\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{5}}{10}$；
（2）不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，
等價于（1-a²）x²-2x+1＞0恰有三個整數(shù)解，故1-a²＜0，
令h（x）=（1-a²）x²-2x+1，由h（0）=1＞0且h（1）=-a²＜0（a＞0），
所以函數(shù)h（x）=（1-a²）x²-2x+1的一個零點在區(qū)間（0，1），
則另一個零點一定在區(qū)間（-3，-2），這是因為此時不等式解集中有-2，-1，0恰好三個整數(shù)解
故$\left\{\begin{array}{l}{h（-2）＞0}\\{h（-3）≤0}\end{array}\right.$，解之得$\frac{4}{3}≤a＜\frac{3}{2}$．

點評 此題主要考查點到直線距離公式的應(yīng)用及不等式的解法，此類型的題目需要仔細分析再求解，綜合性較強，有一定的技巧性．