Question

若關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x²+ax+b=0有兩個(gè)根，一個(gè)根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，另一根在區(qū)間（1，3）內(nèi)，記點(diǎn)（a，b）對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)镾．
（1）設(shè)z=2a-b，求z的取值范圍；
（2）過(guò)點(diǎn)（-5，1）的一束光線(xiàn)，射到x軸被反射后經(jīng)過(guò)區(qū)域S，求反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)區(qū)域S內(nèi)的整點(diǎn)（即橫縱坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)）時(shí)直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）令f（x）=x²+ax+b，根據(jù)題意可知f（0）＞0，f（1）＜0，f（3）＞0，進(jìn)而求得b＞0，a+b+1＜0，a+b+9＞0，畫(huà)出可行域，進(jìn)而分別求得z的最大和最小值，答案可得．
（2）過(guò)點(diǎn)（-5，1）的光線(xiàn)經(jīng)x軸反射后的光線(xiàn)必過(guò)點(diǎn)（-5，-1），由圖可知，找出可能滿(mǎn)足條件的整點(diǎn)，再結(jié)合不等式知點(diǎn)（-3，1）符合條件，得到此時(shí)直線(xiàn)方程即可．
解答：解：方程x²+ax+b=0的兩根在區(qū)間（0，1）和（1，3）上的幾何意義是：
函數(shù)y=f（x）=x²+ax+b與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別在區(qū)間（0，1）和（1，3）內(nèi)，
由此可得不等式組
，即，
則在坐標(biāo)平面aOb內(nèi)，點(diǎn)（a，b）對(duì)應(yīng)的區(qū)域S如圖陰影部分所示，
易得圖中A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-4，3），（-3，0），（-1，0），（4分）
（1）令z=2a-b，則直線(xiàn)b=2a-z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)z取到下邊界-11，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)z取到上邊界-2，
又A，B，C三點(diǎn)的值沒(méi)有取到，所以-11＜z＜-2；（8分）
（2）過(guò)點(diǎn)（-5，1）的光線(xiàn)經(jīng)x軸反射后的光線(xiàn)必過(guò)點(diǎn)（-5，-1），由圖可知
可能滿(mǎn)足條件的整點(diǎn)為（-3，1），（-3，2），（-2，2），（-2，1），
再結(jié)合不等式知點(diǎn)（-3，1）符合條件，所以此時(shí)直線(xiàn)方程為：y+1=-（x+5），
即y=x+4   （12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一元二次方程根據(jù)的分布，以及線(xiàn)性規(guī)劃的基本知識(shí)．考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．