【題目】已知函數(shù) .任取t∈R,若函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上的最大值為M(t),最小值為m(t),記g(t)=M(t)﹣m(t).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及對稱軸方程;
(2)當t∈[﹣2,0]時,求函數(shù)g(t)的解析式;
(3)設函數(shù)h(x)=2|xk|,H(x)=x|x﹣k|+2k﹣8,其中實數(shù)k為參數(shù),且滿足關于t的不等式 有解,若對任意x1∈[4,+∞),存在x2∈(﹣∞,4],使得h(x2)=H(x1)成立,求實數(shù)k的取值范圍.

【答案】
(1)解:函數(shù)

則f(x)的最小正周期為 ;

,解得f(x)的對稱軸方程為x=2k+1(x∈Z)


(2)解:①當 時,在區(qū)間[t,t+1]上, ,

m(t)=f(﹣1)=﹣1,

;

②當 時,在區(qū)間[t,t+1]上, ,

m(t)=f(﹣1)=﹣1,

③當t∈[﹣1,0]時,在區(qū)間[t,t+1]上, ,

,

∴當t∈[﹣2,0]時,函數(shù)


(3)解:∵ 的最小正周期T=4,

∴M(t+4)=M(t),m(t+4)=m(t),

∴g(t+4)=M(t+4)﹣m(t+4)=M(t)﹣m(t)=g(t);

∴g(t)是周期為4的函數(shù),研究函數(shù)g(t)的性質,只須研究函數(shù)g(t)在t∈[﹣2,2]時的性質即可;

仿照(2),可得 ;

畫出函數(shù)g(t)的部分圖象,如圖所示,

∴函數(shù)g(t)的值域為

已知 有解,即 k≤4g(t)max=4 ,

∴k≤4;

若對任意x1∈[4,+∞),存在x2∈(﹣∞,4],使得h(x2)=H(x1)成立,

即H(x)在[4,+∞)的值域是h(x)在(﹣∞,4]的值域的子集.

,

當k≤4時,∵h(x)在(﹣∞,k)上單調遞減,在[k,4]上單調遞增,

∴h(x)min=h(k)=1,

∵H(x)=x|x﹣k|+2k﹣8在[4,+∞)上單調遞增,

∴H(x)min=H(4)=8﹣2k,

∴8﹣2k≥1,即 ;

綜上,實數(shù)的取值范圍是


【解析】(1)根據正弦型函數(shù)f(x)的解析式求出它的最小正周期和對稱軸方程;(2)分類討論 、 和t∈[﹣1,0]時,求出對應函數(shù)g(t)的解析式;(3)根據f(x)的最小正周期T,得出g(t)是周期函數(shù),研究函數(shù)g(t)在一個周期內的性質,求出g(t)的解析式;畫出g(t)的部分圖象,求出值域,利用不等式 求出k的取值范圍,再把“對任意x1∈[4,+∞),存在x2∈(﹣∞,4],使得h(x2)=H(x1)成立”轉化為“H(x)在[4,+∞)的值域是h(x)在(﹣∞,4]的值域的子集“,從而求出k的取值范圍.

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