Question

已知數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列是首項為1，公比為的等比

數(shù)列．

（1）若，，求數(shù)列的前項和；

（2）若存在正整數(shù)，使得．試比較與的大小，并說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1) ;(2) 當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．

【解析】

試題分析：(1)利用基本量思想求解兩個數(shù)列的通項公式，然后才有錯位相減法求解數(shù)列的前項和；（2）利用等量關(guān)系關(guān)系，減少公差d，進而將與進行表示，然后才有作差比較進行分析，注意分類討論思想的應(yīng)用.

試題解析：（1）依題意，，

故，

所以，                                        3分

令，                   ①

  則，          ②

①②得，，

，

所以．                                           7分

（2）因為，

所以，即，

故，

又，                                                          9分

所以

                                                                            11分

（ⅰ）當(dāng)時，由知

，                                                   13分

（ⅱ）當(dāng)時，由知

，

綜上所述，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．       16分

（注：僅給出“時，；時，”得2分．）

方法二：（注意到數(shù)列的函數(shù)特征，運用函數(shù)性質(zhì)求解）

(易知)，

令，有，，

令，則．記．

若，則在上，函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，則，

這與相矛盾；

若，則在上，函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，則，

這與相矛盾；

所以，．

故在上，函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，

在上，函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)．

因為，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以，當(dāng)時，，即，

當(dāng)時，，即，

綜上所述，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．

考點：1.等差和等比數(shù)列的通項公式；2.數(shù)列求和；3.大小比較.