Question

10．已知等差數(shù)列{a_n}和等比數(shù)列{b_n}，a₁=0，a₃=2，b_n=2${\;}^{{a}_{n}+1}$
（1）求數(shù)列{a_n}和等比數(shù)列{b_n}的通項公式．
（2）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）設等差數(shù)列{a_n}和等比數(shù)列{b_n}的公差與公比分別為：d，q．由于a₁=0，a₃=2，利用通項公式可得d，a_n及其b_n．
（2）由（1）可得：a_nb_n=（n-1）×2ⁿ．利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）設等差數(shù)列{a_n}和等比數(shù)列{b_n}的公差與公比分別為：d，q．
∵a₁=0，a₃=2，
∴2=0+2d，解得d=1．
∴a_n=0+（n-1）=n-1．
∴b_n=2${\;}^{{a}_{n}+1}$=2ⁿ．
（2）由（1）可得：a_nb_n=（n-1）×2ⁿ．
∴數(shù)列{a_nb_n}的前n項和S_n=0+2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ，
2S_n=0+2³+2×2⁴+…+（n-2）×2ⁿ+（n-1）×2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2²+2³+…+2ⁿ-（n-1）×2ⁿ⁺¹=$\frac{4（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-（n-1）×2ⁿ⁺¹=（2-n）×2ⁿ⁺¹-4，
∴S_n=（n-2）×2ⁿ⁺¹+4．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．