Question

判斷下列各命題：
①若α，β是第一象限角，且α＞β，則cosα＜cosβ；
②函數(shù)y=sin（

2

3

x+

7π

2

）是偶函數(shù)；
③將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移

π

4

個單位長度，得到函數(shù)y=sin（2x+

π

4

）的圖象；
④若cosαcosβ=1，則sin（α+β）=0
其中正確的命題為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：通過舉反例可得①錯誤，利用三角恒等變換以及余弦函數(shù)的奇偶性可得②正確，根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得③錯誤，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和的正弦公式可得④正確，從而得出結(jié)論．

解答： 解：由于α，β是第一象限角，且α＞β，不妨設(shè)α=2π+

π

6

，β=

π

6

，顯然不滿足cosα＜cosβ，故①錯誤．
由于函數(shù)y=sin（

2

3

x+

7π

2

）=sin（

2

3

x+4π-

π

2

）=-sin（

π

2

-

2

3

x）=-cos

2

3

x，顯然是偶函數(shù)，故②正確．
由于將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移

π

4

個單位長度，得到函數(shù)y=sin2（x+

π

4

）=cos2x的圖象，故③錯誤．
由于cosαcosβ=1，則有cosα=cosβ=1，或cosα=cosβ=-1，∴sinα=sinβ=0，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=0，故④正確，
故答案為：②④．

點評：本題主要考查三角恒等變換，余弦函數(shù)的奇偶性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和的正弦公式．通過舉反例排除不符合條件的選項，是一種簡單有效的方法，屬于基礎(chǔ)題．