Question

6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：
（1）分給甲、乙、丙三人，每人2本；
（2）分為三份，每份2本；
（3）分為三份，一份1本，一份2本，一份3本；
（4）分給甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；
（5）分給甲、乙、丙三人，每人至少1本．

Answer 1

考點：排列、組合及簡單計數(shù)問題

專題：應用題,排列組合

分析：（1）把6本書平均分給甲、乙、丙3個人，每人2本，分3步進行，先從6本書中取出2本給甲，再從剩下的4本書中取出2本給乙，最后把剩下的2本書給丙，分別求出其情況數(shù)目，進而由分步計數(shù)原理，可得結論；
（2）平均分成三份，每份2本．這是平均分組問題，列舉（AB，CD，EF），（AB，EF，CD）、（CD，AB，EF）、（CD，EF，AB）、（EF，CD，AB）、（EF，AB，CD）是一種分法，求出組合總數(shù)除以A³₃即可；
（3）不均勻分組問題；
（4）在（3）的基礎上再進行全排列；
（5）分為3類：411，321，222，利用排列組合知識，即可得出結論．

解答： 解：（1）把6本書平均分給甲、乙、丙3個人，每人2本，分3步進行，
先從6本書中取出2本給甲，有C₆²種取法，
再從剩下的4本書中取出2本給乙，有C₄²種取法，
最后把剩下的2本書給丙，有1種情況，
則把6本書平均分給甲、乙、丙3個人，每人2本，有C₆²×C₄²×1=90種分法；
（2）無序均勻分組問題．先分三步，則應是C₆²×C₄²×C₂²種方法，但是這里出現(xiàn)了重復．不妨記6本書為A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，記該種分法為（AB，CD，EF），則C₆²×C₄²×C₂²種分法中還有（AB，EF，CD）、（CD，AB，EF）、（CD，EF，AB）、（EF，CD，AB）、（EF，AB，CD），共A³₃種情況，而這A³₃種情況僅是AB、CD、EF的順序不同，因此只能作為一種分法，故分配方式有C₆²×C₄²×C₂²÷A³₃=15種
（3）C₆¹×C₅²×C₃³=60種；
（4）在（3）的基礎上再進行全排列，C₆¹×C₅²×C₃³×A³₃=360種；
（5）分為3類：①411，C₆¹×C₅¹×C₃¹=90；②321，C₆¹×C₅¹×A³₃=360種；③222，C₆²×C₄²×C₂²=90種，
故共有90+360+90=540種．

點評：本題考查排列、組合及簡單計數(shù)問題，正確區(qū)分無序不均勻分組問題．有序不均勻分組問題．無序均勻分組問題．是解好組合問題的一部分；本題考查計算能力，理解能力．