設(shè)a＞0，函數(shù)f（x）=x2+a|lnx-1|
（1）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）當(dāng)a=3時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）當(dāng)x∈[1，+∞）時，求函數(shù)f（x）的最小值．
分析：（1）將a=1代入，對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)得到切線的斜率k=f′（1），切點為（1，2），根據(jù)點斜式即可寫出切線方程；
（2）由題意知當(dāng)0＜x≤e時，
f′(x)=2x-=，f（x）在（1，e]內(nèi)單調(diào)性．當(dāng)x≥e時，
f′(x)=2x+＞0恒成立，故f（x）在[e，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．由此可知f（x）的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）分x≥e和x＜e兩種情況討論．分別對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷出函數(shù)f（x）的單調(diào)性后可得到答案．
解答：解（1）當(dāng)a=1時，f（x）=x
2+|lnx-1|=
| | x2+lnx-1，x≥e | | x2-lnx+1，0＜x＜e |
| |
，
當(dāng)0＜x＜e時，f′（x）=2x-
，f'（1）=1，
令x=1得f（1）=2，所以切點為（1，2），切線的斜率為1，
所以曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為：x-y+1=0．
（2）當(dāng)a=3時，f（x）=x
2+3|lnx-1|
=
| | x2-3lnx+3 (0＜x≤e) | | x2+3lnx-3 (x＞e) |
| |
當(dāng)0＜x≤e時，
f′(x)=2x-=，
f（x）在（0，
]內(nèi)單調(diào)遞減，在（
，e]上單調(diào)遞增；
當(dāng)x≥e時，
f′(x)=2x+＞0恒成立，
故f（x）在（0，
]內(nèi)單調(diào)遞減，在（
，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）①當(dāng)x≥e時，f（x）=x
2+alnx-a，
f′(x)=2x+（x≥e）
∵a＞0，
∴f（x）＞0恒成立．
∴f（x）在[e，+∞）上增函數(shù)．
故當(dāng)x=e時，y
min=f（e）=e
2②當(dāng)1≤x＜e時，f（x）=x
2-alnx+1，
f′(x)=2x-=(x+)(x-)（1≤x＜e）
（i）當(dāng)
≤1，即0＜a≤2時，f'（x）在x∈（1，e）時為正數(shù)，
所以f（x）在區(qū)間[1，e）上為增函數(shù)．
故當(dāng)x=1時，y
min=1+a，且此時f（1）＜f（e）
（ii）當(dāng)
1＜＜e，即2＜a＜2e
2時，
f'（x）在
x∈(1，)時為負(fù)數(shù)，在間
x∈( ，e)時為正數(shù)
所以f（x）在區(qū)間
[1，)上為減函數(shù)，在
(，e]上為增函數(shù)
故當(dāng)
x=時，
ymin=-ln，
且此時
f()＜f(e)（iii）當(dāng)
≥e；即a≥2e
2時，
f'（x）在x∈（1，e）時為負(fù)數(shù)，
所以f（x）在區(qū)間[1，e]上為減函數(shù)，
當(dāng)x=e時，y
min=f（e）=e
2．
綜上所述，當(dāng)a≥2e
2時，f（x）在x≥e時和1≤x≤e時的最小值都是e
2．
所以此時f（x）的最小值為f（e）=e
2；
當(dāng)2＜a＜2e
2時，f（x）在x≥e時的最小值為
f()=-ln，
而
f()＜f(e)，
所以此時f（x）的最小值為
f()=-ln．
當(dāng)0＜a≤2時，在x≥e時最小值為e
2，在1≤x＜e時的最小值為f（1）=1+a，
而f（1）＜f（e），所以此時f（x）的最小值為f（1）=1+a
所以函數(shù)y=f（x）的最小值為
ymin= | | 1+a，0＜a≤2 | | -ln，2＜a≤2e2 | | e2，a＞2e2 |
| |
．
點評：本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系．當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減，考查運算能力，屬中檔題．
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